Номер 5.20, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.20, страница 39.

Условие.

5.20 a) $\frac{1}{x+y} \cdot (x^3 + y^3);$

б) $(a^3 + b^3) : (a^2 - ab + b^2);$

в) $\frac{1}{n^3 - m^3} \cdot (n^2 + nm + m^2);$

г) $(p^3 - q^3) : (p - q).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{1}{x + y} \cdot (x^3 + y^3) = \frac{1}{x + y} \cdot (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Можно представить это как одну дробь:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x + y}$

Сократим общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе:

$x^2 - xy + y^2$

Ответ: $x^2 - xy + y^2$

б)

Представим деление в виде дроби. Для упрощения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$(a^3 + b^3) : (a^2 - ab + b^2) = \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$

Подставим разложение суммы кубов в числитель дроби:

$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$a+b$

Ответ: $a+b$

в)

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности кубов: $n^3 - m^3 = (n-m)(n^2 + nm + m^2)$.

Запишем исходное выражение в виде одной дроби:

$\frac{1}{n^3 - m^3} \cdot (n^2 + nm + m^2) = \frac{n^2 + nm + m^2}{n^3 - m^3}$

Теперь подставим разложение разности кубов в знаменатель:

$\frac{n^2 + nm + m^2}{(n-m)(n^2 + nm + m^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(n^2 + nm + m^2)$:

$\frac{1}{n-m}$

Ответ: $\frac{1}{n-m}$

г)

Представим деление в виде дроби. Для упрощения воспользуемся формулой разности кубов: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$.

$(p^3 - q^3) : (p - q) = \frac{p^3 - q^3}{p - q}$

Подставим разложение разности кубов в числитель дроби:

$\frac{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}{p - q}$

Сократим дробь на общий множитель $(p-q)$:

$p^2 + pq + q^2$

Ответ: $p^2 + pq + q^2$