Номер 5.27, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.27, страница 40.

Условие.

5.27 Укажите допустимые значения переменных, при которых справедливо тождество:

a) $(\frac{a}{b})^0 = 1;$

б) $(\frac{2a-b}{a+2})^0 = 1;$

в) $(\frac{a^2-9}{a})^0 = 1;$

г) $(\frac{16-a^2}{a^2-9})^0 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы тождество $x^0 = 1$ было справедливым, необходимо и достаточно, чтобы его основание $x$ было определено и не равнялось нулю. В задачах даны выражения вида $(\frac{A}{B})^0 = 1$, где основанием является дробь.
Дробь $\frac{A}{B}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю ($B \neq 0$).
Дробь $\frac{A}{B}$ не равна нулю, если ее числитель не равен нулю ($A \neq 0$).
Следовательно, для каждого из заданных тождеств мы должны найти значения переменных, при которых одновременно выполняются два условия: числитель дроби не равен нулю и знаменатель дроби не равен нулю.

а) В выражении $(\frac{a}{b})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{a}{b}$. Для того чтобы тождество было верным, основание степени должно быть определено и не равно нулю. Это означает, что числитель и знаменатель дроби не должны равняться нулю.
1. Числитель не равен нулю: $a \neq 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $b \neq 0$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$ и $b$, кроме $a=0$ и $b=0$.
Ответ: $a \neq 0$, $b \neq 0$.

б) В выражении $(\frac{2a-b}{a+2})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{2a-b}{a+2}$. Требуется, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были не равны нулю.
1. Числитель не равен нулю: $2a-b \neq 0$, что эквивалентно $b \neq 2a$.
2. Знаменатель не равен нулю: $a+2 \neq 0$, что эквивалентно $a \neq -2$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условиям $a \neq -2$ и $b \neq 2a$.
Ответ: $a \neq -2$, $b \neq 2a$.

в) В выражении $(\frac{a^2 - 9}{a})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{a^2 - 9}{a}$. Требуется, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были не равны нулю.
1. Числитель не равен нулю: $a^2 - 9 \neq 0$. Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(a-3)(a+3) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 3$ и $a \neq -3$.
2. Знаменатель не равен нулю: $a \neq 0$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$, кроме $a=0$, $a=3$ и $a=-3$.
Ответ: $a \neq 0$, $a \neq 3$, $a \neq -3$.

г) В выражении $(\frac{16 - a^2}{a^2 - 9})^0 = 1$ основанием степени является дробь $\frac{16 - a^2}{a^2 - 9}$. Требуется, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были не равны нулю.
1. Числитель не равен нулю: $16 - a^2 \neq 0$. Разложим на множители: $(4-a)(4+a) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 4$ и $a \neq -4$.
2. Знаменатель не равен нулю: $a^2 - 9 \neq 0$. Разложим на множители: $(a-3)(a+3) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 3$ и $a \neq -3$.
Следовательно, тождество справедливо при любых значениях $a$, кроме $a=3$, $a=-3$, $a=4$ и $a=-4$.
Ответ: $a \neq \pm 3$, $a \neq \pm 4$.