Номер 5.22, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.22, страница 39.

Условие.

5.22 а) $\frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} : \frac{2x - 10}{x^2 - 16}$

б) $\frac{1 - a}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a}$

в) $\frac{c^2 - 25}{c^2 + 12c + 36} \cdot \frac{3c + 18}{2c + 10}$

г) $\frac{5m - 10n}{m - 5} : \frac{4n^2 - 4mn + m^2}{15 - 3m}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

$\frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} : \frac{2x - 10}{x^2 - 16} = \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели всех дробей. Для этого используем формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов) и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

Знаменатель первой дроби: $3x + 12 = 3(x+4)$.

Числитель второй дроби: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.

Знаменатель второй дроби: $2x - 10 = 2(x-5)$.

Подставим полученные выражения обратно в пример:

$\frac{(x-5)^2}{3(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)}$

Сократим общие множители $(x-5)$ и $(x+4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(x+4)}} \cdot \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{2\cancel{(x-5)}} = \frac{(x-5)(x-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-5)(x-4)}{6}$

Ответ: $\frac{(x-5)(x-4)}{6}$

б) Для умножения двух рациональных дробей нужно перемножить их числители и знаменатели. Сначала разложим многочлены на множители.

$\frac{1 - a}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a}$

Знаменатель первой дроби: $4a + 8b = 4(a + 2b)$.

Числитель второй дроби (квадрат суммы): $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.

Знаменатель второй дроби: $3 - 3a = 3(1 - a)$.

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{1 - a}{4(a + 2b)} \cdot \frac{(a + 2b)^2}{3(1 - a)}$

Сократим общие множители $(1 - a)$ и $(a + 2b)$:

$\frac{\cancel{1 - a}}{4\cancel{(a + 2b)}} \cdot \frac{(a + 2b)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(1 - a)}} = \frac{a + 2b}{4 \cdot 3} = \frac{a + 2b}{12}$

Ответ: $\frac{a+2b}{12}$

в) Выполним умножение дробей, предварительно разложив их числители и знаменатели на множители.

$\frac{c^2 - 25}{c^2 + 12c + 36} \cdot \frac{3c + 18}{2c + 10}$

Числитель первой дроби (разность квадратов): $c^2 - 25 = (c-5)(c+5)$.

Знаменатель первой дроби (квадрат суммы): $c^2 + 12c + 36 = (c+6)^2$.

Числитель второй дроби: $3c + 18 = 3(c+6)$.

Знаменатель второй дроби: $2c + 10 = 2(c+5)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(c-5)(c+5)}{(c+6)^2} \cdot \frac{3(c+6)}{2(c+5)}$

Сократим общие множители $(c+5)$ и $(c+6)$:

$\frac{(c-5)\cancel{(c+5)}}{(c+6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(c+6)}}{2\cancel{(c+5)}} = \frac{3(c-5)}{2(c+6)}$

Ответ: $\frac{3(c-5)}{2(c+6)}$

г) Для деления дробей заменим его умножением на обратную дробь.

$\frac{5m - 10n}{m - 5} : \frac{4n^2 - 4mn + m^2}{15 - 3m} = \frac{5m - 10n}{m - 5} \cdot \frac{15 - 3m}{4n^2 - 4mn + m^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители.

Числитель первой дроби: $5m - 10n = 5(m - 2n)$.

Числитель второй дроби: $15 - 3m = 3(5 - m) = -3(m - 5)$.

Знаменатель второй дроби (квадрат разности): $4n^2 - 4mn + m^2 = m^2 - 4mn + 4n^2 = (m - 2n)^2$.

Подставим полученные выражения:

$\frac{5(m - 2n)}{m - 5} \cdot \frac{-3(m - 5)}{(m - 2n)^2}$

Сократим общие множители $(m - 5)$ и $(m - 2n)$:

$\frac{5\cancel{(m - 2n)}}{\cancel{m - 5}} \cdot \frac{-3\cancel{(m - 5)}}{(m - 2n)^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot (-3)}{m - 2n} = \frac{-15}{m - 2n}$

Ответ: $-\frac{15}{m-2n}$