Номер 5.15, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.15, страница 38.

Условие.

5.15 a) $ \frac{x+y}{x-y} \cdot (x-y); $

б) $ \frac{2x+y}{x-y} : (2x+y)^2; $

в) $ (a+b) \cdot \frac{2a+b}{a+b}; $

г) $ (a-b)^2 : \frac{a-b}{a-2b}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы умножить алгебраическую дробь на многочлен, нужно умножить числитель дроби на этот многочлен, а знаменатель оставить без изменений. После этого, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{x+y}{x-y} \cdot (x-y) = \frac{(x+y) \cdot (x-y)}{x-y}$

Сокращаем общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$):

$\frac{(x+y) \cdot \cancel{(x-y)}}{\cancel{x-y}} = x+y$

Ответ: $x+y$

б) Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение. Представим делитель $(2x+y)^2$ в виде дроби $\frac{(2x+y)^2}{1}$. Обратной ей будет дробь $\frac{1}{(2x+y)^2}$.

$\frac{2x+y}{x-y} : (2x+y)^2 = \frac{2x+y}{x-y} \cdot \frac{1}{(2x+y)^2} = \frac{2x+y}{(x-y)(2x+y)^2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(2x+y)$ (при условии, что $2x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$):

$\frac{\cancel{2x+y}}{(x-y)(2x+y)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{(x-y)(2x+y)}$

Ответ: $\frac{1}{(x-y)(2x+y)}$

в) Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь, нужно умножить этот многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить тем же. Затем, если возможно, сократить.

$(a+b) \cdot \frac{2a+b}{a+b} = \frac{(a+b) \cdot (2a+b)}{a+b}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{\cancel{(a+b)} \cdot (2a+b)}{\cancel{a+b}} = 2a+b$

Ответ: $2a+b$

г) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Обратной для дроби $\frac{a-b}{a-2b}$ является дробь $\frac{a-2b}{a-b}$.

$(a-b)^2 : \frac{a-b}{a-2b} = (a-b)^2 \cdot \frac{a-2b}{a-b} = \frac{(a-b)^2 \cdot (a-2b)}{a-b}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(a-b)$ (при условии, что $a-b \neq 0$ и $a-2b \neq 0$):

$\frac{(a-b)^{\cancel{2}} \cdot (a-2b)}{\cancel{a-b}} = (a-b)(a-2b)$

Ответ: $(a-b)(a-2b)$