Номер 5.17, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень - номер 5.17, страница 39.

Условие.

5.17 a) $ \frac{rx + r^2}{x^2} : \frac{x + r}{x}; $

б) $ \frac{mx + my}{ab^2} \cdot \frac{a^2b}{4x + 4y}; $

в) $ \frac{xy}{p^2 + p^3} \cdot \frac{p + p^2}{x^2y^2}; $

г) $ \frac{6a}{n^2 - n} : \frac{3an}{2n - 2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $\frac{rx + r^2}{x^2} : \frac{x + r}{x}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

$\frac{rx + r^2}{x^2} \cdot \frac{x}{x + r}$

Разложим числитель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $r$ за скобки:

$rx + r^2 = r(x+r)$

Подставим разложенное выражение обратно в пример:

$\frac{r(x+r)}{x^2} \cdot \frac{x}{x + r}$

Сократим общие множители. Выражение $(x+r)$ есть и в числителе, и в знаменателе, сокращаем его. Также сокращаем $x$ в числителе и $x^2$ в знаменателе (остается $x$ в знаменателе):

$\frac{r \cdot \cancel{(x+r)}}{x \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{x + r}} = \frac{r}{x}$

Ответ: $\frac{r}{x}$

б)

Исходное выражение: $\frac{mx + my}{ab^2} \cdot \frac{a^2b}{4x + 4y}$

Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общие множители за скобки:

$mx + my = m(x+y)$

$4x + 4y = 4(x+y)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{m(x+y)}{ab^2} \cdot \frac{a^2b}{4(x+y)}$

Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(x+y)$ в числителе и знаменателе. Сокращаем $a$ в знаменателе и $a^2$ в числителе (остается $a$). Сокращаем $b$ в числителе и $b^2$ в знаменателе (остается $b$):

$\frac{m \cdot \cancel{(x+y)}}{\cancel{a} \cdot b \cdot \cancel{b}} \cdot \frac{a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b}}{4 \cdot \cancel{(x+y)}} = \frac{m \cdot a}{b \cdot 4} = \frac{am}{4b}$

Ответ: $\frac{am}{4b}$

в)

Исходное выражение: $\frac{xy}{p^2 + p^3} \cdot \frac{p + p^2}{x^2y^2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:

$p^2 + p^3 = p^2(1+p)$

$p + p^2 = p(1+p)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{xy}{p^2(1+p)} \cdot \frac{p(1+p)}{x^2y^2}$

Сократим общие множители. Сокращаем $(1+p)$. Сокращаем $p$ в числителе и $p^2$ в знаменателе (остается $p$). Сокращаем $x$ в числителе и $x^2$ в знаменателе (остается $x$). Сокращаем $y$ в числителе и $y^2$ в знаменателе (остается $y$):

$\frac{\cancel{x}\cancel{y}}{p \cdot \cancel{p} \cdot \cancel{(1+p)}} \cdot \frac{\cancel{p} \cdot \cancel{(1+p)}}{x \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{y}} = \frac{1}{p \cdot x \cdot y} = \frac{1}{pxy}$

Ответ: $\frac{1}{pxy}$

г)

Исходное выражение: $\frac{6a}{n^2 - n} : \frac{3an}{2n - 2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{6a}{n^2 - n} \cdot \frac{2n - 2}{3an}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:

$n^2 - n = n(n-1)$

$2n - 2 = 2(n-1)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{6a}{n(n-1)} \cdot \frac{2(n-1)}{3an}$

Сократим общие множители. Сокращаем $(n-1)$. Сокращаем $a$. Числовые коэффициенты 6 и 3 сокращаются до 2. В знаменателе остаются два множителя $n$:

$\frac{2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{a}}{n \cdot \cancel{(n-1)}} \cdot \frac{2 \cdot \cancel{(n-1)}}{\cancel{3} \cdot \cancel{a} \cdot n} = \frac{2 \cdot 2}{n \cdot n} = \frac{4}{n^2}$

Ответ: $\frac{4}{n^2}$