Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5.9 a) $6mx \cdot \frac{ab}{2mx^2}$;

б) $15y^3 : \frac{25y^2}{4x}$;

в) $\frac{4ab^2}{3cm^3} \cdot 6c^2m^2$;

г) $9xy : \frac{3x^2y}{ab}$.

а) Чтобы выполнить умножение одночлена на алгебраическую дробь, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1 и перемножим числители и знаменатели: $6mx \cdot \frac{ab}{2mx^2} = \frac{6mx}{1} \cdot \frac{ab}{2mx^2} = \frac{6mx \cdot ab}{2mx^2} = \frac{6abmx}{2mx^2}$.
Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты 6 и 2 на 2. Сократим одинаковые множители $m$ в числителе и знаменателе. Сократим степени с основанием $x$: $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.
$\frac{6abmx}{2mx^2} = \frac{3ab \cdot (2m) \cdot x}{x \cdot (2m) \cdot x} = \frac{3ab}{x}$.
Ответ: $\frac{3ab}{x}$

б) Чтобы разделить одночлен на алгебраическую дробь, нужно умножить этот одночлен на дробь, обратную делителю. $15y^3 : \frac{25y^2}{4x} = 15y^3 \cdot \frac{4x}{25y^2}$.
Представим одночлен $15y^3$ в виде дроби и выполним умножение: $\frac{15y^3}{1} \cdot \frac{4x}{25y^2} = \frac{15y^3 \cdot 4x}{25y^2} = \frac{60xy^3}{25y^2}$.
Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты 60 и 25 сокращаем на 5. Степени с основанием $y$ сокращаем на $y^2$: $\frac{y^3}{y^2} = y$.
$\frac{12 \cdot 5 \cdot x \cdot y \cdot y^2}{5 \cdot 5 \cdot y^2} = \frac{12xy}{5}$.
Ответ: $\frac{12xy}{5}$

в) Чтобы умножить алгебраическую дробь на одночлен, представим одночлен в виде дроби и выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели. $\frac{4ab^2}{3cm^3} \cdot 6c^2m^2 = \frac{4ab^2}{3cm^3} \cdot \frac{6c^2m^2}{1} = \frac{4ab^2 \cdot 6c^2m^2}{3cm^3} = \frac{24ab^2c^2m^2}{3cm^3}$.
Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты 24 и 3 сокращаем на 3. Сократим степени с одинаковыми основаниями: $\frac{c^2}{c} = c$ и $\frac{m^2}{m^3} = \frac{1}{m}$.
$\frac{8 \cdot 3 \cdot ab^2 \cdot c \cdot c \cdot m^2}{3 \cdot c \cdot m \cdot m^2} = \frac{8ab^2c}{m}$.
Ответ: $\frac{8ab^2c}{m}$

г) Чтобы разделить одночлен на алгебраическую дробь, нужно умножить этот одночлен на дробь, обратную делителю. $9xy : \frac{3x^2y}{ab} = 9xy \cdot \frac{ab}{3x^2y}$.
Представим одночлен $9xy$ в виде дроби и выполним умножение: $\frac{9xy}{1} \cdot \frac{ab}{3x^2y} = \frac{9xy \cdot ab}{3x^2y} = \frac{9abxy}{3x^2y}$.
Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты 9 и 3 сокращаем на 3. Сокращаем одинаковые множители $y$ в числителе и знаменателе. Сокращаем степени с основанием $x$: $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.
$\frac{3 \cdot 3 \cdot ab \cdot x \cdot y}{3 \cdot x \cdot x \cdot y} = \frac{3ab}{x}$.
Ответ: $\frac{3ab}{x}$

5.10 a) $\frac{4x^3y^2}{p} : 6x^4y^5;$

б) $\frac{m}{17a^2d^2} \cdot 34a^2d^8;$

в) $\frac{4x^3y^4}{a} : 36x^3y^4;$

г) $8p^3n^5 \cdot \frac{x}{6p^2n^3};$

а) Чтобы разделить дробь на одночлен, представим одночлен в виде дроби и выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{4x^3y^2}{p} : 6x^4y^5 = \frac{4x^3y^2}{p} : \frac{6x^4y^5}{1} = \frac{4x^3y^2}{p} \cdot \frac{1}{6x^4y^5} = \frac{4x^3y^2}{6px^4y^5}$.
Сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Затем сократим степени переменных, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^3}{x^4} = x^{3-4} = x^{-1} = \frac{1}{x}$
$\frac{y^2}{y^5} = y^{2-5} = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$
Объединив все части, получим:
$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot p \cdot x \cdot y^3} = \frac{2}{3pxy^3}$.
Ответ: $\frac{2}{3pxy^3}$

б) Чтобы умножить дробь на одночлен, представим одночлен в виде дроби и выполним умножение дробей:
$\frac{m}{17a^2d^2} \cdot 34a^2d^8 = \frac{m}{17a^2d^2} \cdot \frac{34a^2d^8}{1} = \frac{m \cdot 34a^2d^8}{17a^2d^2} = \frac{34ma^2d^8}{17a^2d^2}$.
Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{34}{17} = 2$.
Сократим степени переменных:
$\frac{a^2}{a^2} = a^{2-2} = a^0 = 1$
$\frac{d^8}{d^2} = d^{8-2} = d^6$
Объединив все части, получим:
$m \cdot 2 \cdot 1 \cdot d^6 = 2md^6$.
Ответ: $2md^6$

в) Чтобы разделить дробь на одночлен, представим одночлен в виде дроби и заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{4x^3y^4}{a} : 36x^3y^4 = \frac{4x^3y^4}{a} : \frac{36x^3y^4}{1} = \frac{4x^3y^4}{a} \cdot \frac{1}{36x^3y^4} = \frac{4x^3y^4}{36ax^3y^4}$.
Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
Сократим степени переменных:
$\frac{x^3}{x^3} = x^{3-3} = x^0 = 1$
$\frac{y^4}{y^4} = y^{4-4} = y^0 = 1$
Объединив все части, получим:
$\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{a \cdot 9} = \frac{1}{9a}$.
Ответ: $\frac{1}{9a}$

г) Чтобы умножить одночлен на дробь, представим одночлен в виде дроби $\frac{8p^3n^5}{1}$ и выполним умножение:
$8p^3n^5 \cdot \frac{x}{6p^2n^3} = \frac{8p^3n^5}{1} \cdot \frac{x}{6p^2n^3} = \frac{8p^3n^5x}{6p^2n^3}$.
Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Сократим степени переменных, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{p^3}{p^2} = p^{3-2} = p^1 = p$
$\frac{n^5}{n^3} = n^{5-3} = n^2$
Объединив все части, получим:
$\frac{4 \cdot p \cdot n^2 \cdot x}{3} = \frac{4pn^2x}{3}$.
Ответ: $\frac{4pn^2x}{3}$

5.11 a) $\frac{x - y}{4a} \cdot \frac{4}{x - y}$;

б) $\frac{a + b}{8} : \frac{a + b}{8x}$;

в) $\frac{2m - 3n}{7} \cdot \frac{7s}{2m - 3n}$;

г) $\frac{15p + 12q}{13p} : \frac{15p + 12q}{13}$.

а) Чтобы умножить две рациональные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Результат записать как новую дробь. $ \frac{x-y}{4a} \cdot \frac{4}{x-y} = \frac{(x-y) \cdot 4}{4a \cdot (x-y)} $. Далее сократим полученную дробь. Общими множителями в числителе и знаменателе являются $4$ и $(x-y)$. Предполагая, что $x-y \neq 0$ и $a \neq 0$, мы можем их сократить. $ \frac{\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{4}}{\cancel{4}a \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{1}{a} $.
Ответ: $ \frac{1}{a} $.

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную (перевернутую) второй. $ \frac{a+b}{8} : \frac{a+b}{8x} = \frac{a+b}{8} \cdot \frac{8x}{a+b} $. Теперь перемножим числители и знаменатели: $ \frac{(a+b) \cdot 8x}{8 \cdot (a+b)} $. Сократим общие множители $(a+b)$ и $8$ в числителе и знаменателе, при условии, что $a+b \neq 0$ и $x \neq 0$. $ \frac{\cancel{(a+b)} \cdot \cancel{8}x}{\cancel{8} \cdot \cancel{(a+b)}} = x $.
Ответ: $ x $.

в) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели. $ \frac{2m-3n}{7} \cdot \frac{7s}{2m-3n} = \frac{(2m-3n) \cdot 7s}{7 \cdot (2m-3n)} $. Сократим одинаковые множители $(2m-3n)$ и $7$ в числителе и знаменателе, при условии, что $2m-3n \neq 0$. $ \frac{\cancel{(2m-3n)} \cdot \cancel{7}s}{\cancel{7} \cdot \cancel{(2m-3n)}} = s $.
Ответ: $ s $.

г) Деление дробей заменяем на умножение на обратную (перевернутую) дробь. $ \frac{15p+12q}{13p} : \frac{15p+12q}{13} = \frac{15p+12q}{13p} \cdot \frac{13}{15p+12q} $. Объединим в одну дробь: $ \frac{(15p+12q) \cdot 13}{13p \cdot (15p+12q)} $. Сократим общие множители $(15p+12q)$ и $13$, при условии, что $p \neq 0$ и $15p+12q \neq 0$. $ \frac{\cancel{(15p+12q)} \cdot \cancel{13}}{\cancel{13}p \cdot \cancel{(15p+12q)}} = \frac{1}{p} $.
Ответ: $ \frac{1}{p} $.

5.12 a) $\frac{3a + 4b}{8x^2} : \frac{4b + 3a}{16x^2};$

б) $\frac{7c + 9d}{13p^3} \cdot \frac{39p^{12}}{9d + 7c};$

в) $\frac{44c^3}{15m + 4n} : \frac{52c}{4n + 15m};$

г) $\frac{12ab}{19t + 8} \cdot \frac{8 + 19t}{15b^2}.$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

$\frac{3a + 4b}{8x^2} : \frac{4b + 3a}{16x^2} = \frac{3a + 4b}{8x^2} \cdot \frac{16x^2}{4b + 3a}$

Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $3a + 4b = 4b + 3a$. Мы можем сократить эти одинаковые выражения в числителе и знаменателе. Также сократим $16x^2$ и $8x^2$:

$\frac{\cancel{(3a + 4b)}}{\cancel{8x^2}_1} \cdot \frac{\cancel{16x^2}^2}{\cancel{(4b + 3a)}} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: $2$

б) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{7c + 9d}{13p^3} \cdot \frac{39p^{12}}{9d + 7c} = \frac{(7c + 9d) \cdot 39p^{12}}{13p^3 \cdot (9d + 7c)}$

Сократим одинаковые выражения $7c + 9d$ и $9d + 7c$. Затем сократим числовые коэффициенты и степени переменной $p$:

$\frac{\cancel{(7c + 9d)} \cdot \cancel{39}^3 p^{12}}{\cancel{13}_1 p^3 \cdot \cancel{(9d + 7c)}} = \frac{3p^{12}}{p^3} = 3p^{12-3} = 3p^9$

Ответ: $3p^9$

в) Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{44c^3}{15m + 4n} : \frac{52c}{4n + 15m} = \frac{44c^3}{15m + 4n} \cdot \frac{4n + 15m}{52c}$

Сокращаем равные выражения $15m + 4n$ и $4n + 15m$. Затем сокращаем числовые коэффициенты (44 и 52 делятся на 4) и переменную $c$:

$\frac{\cancel{44}^{11}c^3}{\cancel{(15m + 4n)}} \cdot \frac{\cancel{(4n + 15m)}}{\cancel{52}_{13}c} = \frac{11c^3}{13c} = \frac{11c^{3-1}}{13} = \frac{11c^2}{13}$

Ответ: $\frac{11c^2}{13}$

г) Перемножаем числители и знаменатели дробей:

$\frac{12ab}{19t + 8} \cdot \frac{8 + 19t}{15b^2} = \frac{12ab \cdot (8 + 19t)}{(19t + 8) \cdot 15b^2}$

Сокращаем равные выражения $19t + 8$ и $8 + 19t$. Затем сокращаем числовые коэффициенты (12 и 15 делятся на 3) и переменную $b$:

$\frac{\cancel{12}^4 a b \cdot \cancel{(8 + 19t)}}{\cancel{(19t + 8)} \cdot \cancel{15}_5 b^2} = \frac{4ab}{5b^2} = \frac{4a}{5b}$

Ответ: $\frac{4a}{5b}$

5.13 а) $\frac{16u - 13v}{21} : \frac{13v - 16u}{p}$;

б) $\frac{45m - n}{23c} \cdot \frac{c}{n - 45m}$;

в) $\frac{98p - 17q}{4} : \frac{17q - 98p}{16m}$;

г) $\frac{64r - 15s}{9c^2} \cdot \frac{18c}{15s - 64r}$.

а) $\frac{16u - 13v}{21} : \frac{13v - 16u}{p}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{16u - 13v}{21} : \frac{13v - 16u}{p} = \frac{16u - 13v}{21} \cdot \frac{p}{13v - 16u}$

Заметим, что выражения в числителе первой дроби и знаменателе второй дроби являются противоположными. Вынесем знак минус (-1) за скобки в знаменателе второй дроби:

$13v - 16u = -( -13v + 16u) = -(16u - 13v)$

Подставим это преобразованное выражение обратно в пример:

$\frac{16u - 13v}{21} \cdot \frac{p}{-(16u - 13v)} = \frac{(16u - 13v) \cdot p}{21 \cdot (-(16u - 13v))}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $(16u - 13v)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{p}{21 \cdot (-1)} = -\frac{p}{21}$

Ответ: $-\frac{p}{21}$

б) $\frac{45m - n}{23c} \cdot \frac{c}{n - 45m}$

Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели, записав результат в виде одной дроби:

$\frac{45m - n}{23c} \cdot \frac{c}{n - 45m} = \frac{(45m - n) \cdot c}{23c \cdot (n - 45m)}$

Как и в предыдущем примере, заметим, что выражения $45m - n$ и $n - 45m$ противоположны. Вынесем -1 за скобки в выражении $n - 45m$:

$n - 45m = -(45m - n)$

Подставим это в наше выражение:

$\frac{(45m - n) \cdot c}{23c \cdot (-(45m - n))}$

Сократим общие множители $(45m - n)$ и $c$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю):

$\frac{1}{23 \cdot (-1)} = -\frac{1}{23}$

Ответ: $-\frac{1}{23}$

в) $\frac{98p - 17q}{4} : \frac{17q - 98p}{16m}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{98p - 17q}{4} \cdot \frac{16m}{17q - 98p}$

Вынесем -1 за скобки в знаменателе второй дроби, чтобы получить выражение, совпадающее с числителем первой дроби:

$17q - 98p = -(98p - 17q)$

Подставим и запишем под одной чертой:

$\frac{(98p - 17q) \cdot 16m}{4 \cdot (-(98p - 17q))}$

Сократим общий множитель $(98p - 17q)$:

$\frac{16m}{4 \cdot (-1)} = \frac{16m}{-4}$

Выполним деление:

$-4m$

Ответ: $-4m$

г) $\frac{64r - 15s}{9c^2} \cdot \frac{18c}{15s - 64r}$

Выполняем умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели:

$\frac{(64r - 15s) \cdot 18c}{9c^2 \cdot (15s - 64r)}$

Выражение в знаменателе второй дроби $15s - 64r$ является противоположным выражению в числителе первой дроби $64r - 15s$. Вынесем -1 за скобки:

$15s - 64r = -(64r - 15s)$

Подставим это в наше выражение:

$\frac{(64r - 15s) \cdot 18c}{9c^2 \cdot (-(64r - 15s))}$

Сократим общий множитель $(64r - 15s)$:

$\frac{18c}{9c^2 \cdot (-1)} = -\frac{18c}{9c^2}$

Теперь сократим числовые коэффициенты и переменную $c$:

$\frac{18}{9} = 2$ и $\frac{c}{c^2} = \frac{1}{c}$

В результате получаем:

$-\frac{2}{c}$

Ответ: $-\frac{2}{c}$

5.14 a) $\frac{c+d}{c-d} : \frac{c-d}{c(c+d)}$;

б) $\frac{a-b}{c+d} : \frac{3(a-b)}{a(c+d)}$;

в) $\frac{m(m-n)}{p(p+q)} \cdot \frac{p^2(p+q)}{m-n}$;

г) $\frac{a+b}{2b(a-b)} : \frac{a+b}{2b^2(a-b)}$.

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

Исходное выражение:

$\frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{c-d}{c(c+d)}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$\frac{(c+d)(c-d)}{(c-d)c(c+d)}$

Сокращаем общие множители $(c+d)$ и $(c-d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(c+d)}\cancel{(c-d)}}{\cancel{(c-d)} \cdot c \cdot \cancel{(c+d)}} = \frac{1}{c}$

Ответ: $\frac{1}{c}$

б) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь).

Исходное выражение:

$\frac{a-b}{c+d} : \frac{3(a-b)}{a(c+d)}$

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a-b}{c+d} \cdot \frac{a(c+d)}{3(a-b)}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$\frac{(a-b)a(c+d)}{(c+d)3(a-b)}$

Сокращаем общие множители $(a-b)$ и $(c+d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(a-b)} \cdot a \cdot \cancel{(c+d)}}{\cancel{(c+d)} \cdot 3 \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{a}{3}$

Ответ: $\frac{a}{3}$

в) Выполняем умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели.

Исходное выражение:

$\frac{m(m-n)}{p(p+q)} \cdot \frac{p^2(p+q)}{m-n}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$\frac{m(m-n)p^2(p+q)}{p(p+q)(m-n)}$

Сокращаем общие множители $(m-n)$, $(p+q)$ и $p$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m \cdot \cancel{(m-n)} \cdot p^2 \cdot \cancel{(p+q)}}{p \cdot \cancel{(p+q)} \cdot \cancel{(m-n)}} = \frac{mp^2}{p}$

Сокращаем $p$:

$\frac{mp \cdot \cancel{p}}{\cancel{p}} = mp$

Ответ: $mp$

г) Выполняем деление дробей. Заменяем деление на умножение на обратную дробь.

Исходное выражение:

$\frac{a+b}{2b(a-b)} : \frac{a+b}{2b^2(a-b)}$

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a+b}{2b(a-b)} \cdot \frac{2b^2(a-b)}{a+b}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$\frac{(a+b)2b^2(a-b)}{2b(a-b)(a+b)}$

Сокращаем общие множители $(a+b)$, $(a-b)$, $2$ и $b$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(a+b)} \cdot \cancel{2} \cdot b^2 \cdot \cancel{(a-b)}}{\cancel{2} \cdot b \cdot \cancel{(a-b)} \cdot \cancel{(a+b)}} = \frac{b^2}{b}$

Сокращаем $b$:

$\frac{b \cdot \cancel{b}}{\cancel{b}} = b$

Ответ: $b$

5.15 a) $ \frac{x+y}{x-y} \cdot (x-y); $

б) $ \frac{2x+y}{x-y} : (2x+y)^2; $

в) $ (a+b) \cdot \frac{2a+b}{a+b}; $

г) $ (a-b)^2 : \frac{a-b}{a-2b}. $

а) Чтобы умножить алгебраическую дробь на многочлен, нужно умножить числитель дроби на этот многочлен, а знаменатель оставить без изменений. После этого, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{x+y}{x-y} \cdot (x-y) = \frac{(x+y) \cdot (x-y)}{x-y}$

Сокращаем общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$):

$\frac{(x+y) \cdot \cancel{(x-y)}}{\cancel{x-y}} = x+y$

Ответ: $x+y$

б) Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение. Представим делитель $(2x+y)^2$ в виде дроби $\frac{(2x+y)^2}{1}$. Обратной ей будет дробь $\frac{1}{(2x+y)^2}$.

$\frac{2x+y}{x-y} : (2x+y)^2 = \frac{2x+y}{x-y} \cdot \frac{1}{(2x+y)^2} = \frac{2x+y}{(x-y)(2x+y)^2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(2x+y)$ (при условии, что $2x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$):

$\frac{\cancel{2x+y}}{(x-y)(2x+y)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{(x-y)(2x+y)}$

Ответ: $\frac{1}{(x-y)(2x+y)}$

в) Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь, нужно умножить этот многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить тем же. Затем, если возможно, сократить.

$(a+b) \cdot \frac{2a+b}{a+b} = \frac{(a+b) \cdot (2a+b)}{a+b}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{\cancel{(a+b)} \cdot (2a+b)}{\cancel{a+b}} = 2a+b$

Ответ: $2a+b$

г) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Обратной для дроби $\frac{a-b}{a-2b}$ является дробь $\frac{a-2b}{a-b}$.

$(a-b)^2 : \frac{a-b}{a-2b} = (a-b)^2 \cdot \frac{a-2b}{a-b} = \frac{(a-b)^2 \cdot (a-2b)}{a-b}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(a-b)$ (при условии, что $a-b \neq 0$ и $a-2b \neq 0$):

$\frac{(a-b)^{\cancel{2}} \cdot (a-2b)}{\cancel{a-b}} = (a-b)(a-2b)$

Ответ: $(a-b)(a-2b)$

5.16 a) $\frac{a}{x^2 - 3x} : \frac{a^3}{3x - 9};$

б) $\frac{a + a^2}{n} \cdot \frac{n^2}{3 + 3a};$

B) $\frac{m^3 - m^2}{y^4} \cdot \frac{y^2}{m^2 - m};$

г) $\frac{10c^2}{b^2 - b^3} : \frac{5}{b - b^2}.$

а) $ \frac{a}{x^2 - 3x} : \frac{a^3}{3x - 9} $
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{a}{x^2 - 3x} \cdot \frac{3x - 9}{a^3} $
Теперь разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй, вынеся общие множители за скобки:
$ x^2 - 3x = x(x - 3) $
$ 3x - 9 = 3(x - 3) $
Подставим полученные выражения обратно в пример:
$ \frac{a}{x(x - 3)} \cdot \frac{3(x - 3)}{a^3} $
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(x - 3)$ и $(x - 3)$. Сокращаем $a$ и $a^3$, в знаменателе остается $a^2$:
$ \frac{1}{x} \cdot \frac{3}{a^2} = \frac{3}{a^2x} $
Ответ: $ \frac{3}{a^2x} $

б) $ \frac{a + a^2}{n} \cdot \frac{n^2}{3 + 3a} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$ a + a^2 = a(1 + a) $
$ 3 + 3a = 3(1 + a) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{a(1 + a)}{n} \cdot \frac{n^2}{3(1 + a)} $
Сократим общие множители. Сокращаем $(1+a)$ и $(1+a)$. Сокращаем $n$ и $n^2$, в числителе остается $n$:
$ \frac{a}{1} \cdot \frac{n}{3} = \frac{an}{3} $
Ответ: $ \frac{an}{3} $

в) $ \frac{m^3 - m^2}{y^4} \cdot \frac{y^2}{m^2 - m} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$ m^3 - m^2 = m^2(m - 1) $
$ m^2 - m = m(m - 1) $
Подставим полученные выражения:
$ \frac{m^2(m - 1)}{y^4} \cdot \frac{y^2}{m(m - 1)} $
Сократим общие множители. Сокращаем $(m-1)$ и $(m-1)$. Сокращаем $m^2$ и $m$, в числителе остается $m$. Сокращаем $y^2$ и $y^4$, в знаменателе остается $y^2$:
$ \frac{m}{y^2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{m}{y^2} $
Ответ: $ \frac{m}{y^2} $

г) $ \frac{10c^2}{b^2 - b^3} : \frac{5}{b - b^2} $
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{10c^2}{b^2 - b^3} \cdot \frac{b - b^2}{5} $
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$ b^2 - b^3 = b^2(1 - b) $
$ b - b^2 = b(1 - b) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{10c^2}{b^2(1 - b)} \cdot \frac{b(1 - b)}{5} $
Сократим общие множители. Сокращаем $(1-b)$ и $(1-b)$. Сокращаем $b$ и $b^2$, в знаменателе остается $b$. Сокращаем $10$ и $5$, в числителе остается $2$:
$ \frac{2c^2}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2c^2}{b} $
Ответ: $ \frac{2c^2}{b} $