Страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

6.3 а) $(\frac{m^2}{n} - n) : (\frac{m}{n} + 1)$;

б) $(3 + \frac{u}{v}) \cdot \frac{uv}{2u + 6v}$;

в) $(4p - \frac{q^2}{p}) : (1 - \frac{2p}{q})$;

г) $(\frac{r}{s} - 2) : \frac{4s - 2r}{rs^2}$.

а)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

1. Приведем к общему знаменателю выражение в первой скобке:$\frac{m^2}{n} - n = \frac{m^2}{n} - \frac{n \cdot n}{n} = \frac{m^2 - n^2}{n}$

Числитель является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.Таким образом, первое выражение равно $\frac{(m-n)(m+n)}{n}$.

2. Приведем к общему знаменателю выражение во второй скобке:$\frac{m}{n} + 1 = \frac{m}{n} + \frac{n}{n} = \frac{m+n}{n}$

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:$(\frac{m^2}{n} - n) : (\frac{m}{n} + 1) = \frac{(m-n)(m+n)}{n} : \frac{m+n}{n} = \frac{(m-n)(m+n)}{n} \cdot \frac{n}{m+n}$

4. Сократим общие множители $n$ и $(m+n)$ в числителе и знаменателе:$\frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{\cancel{n}} \cdot \frac{\cancel{n}}{\cancel{m+n}} = m-n$

Ответ: $m-n$

б)

1. Упростим выражение в скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $v$:$3 + \frac{u}{v} = \frac{3v}{v} + \frac{u}{v} = \frac{3v+u}{v}$

2. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 2 за скобки:$2u+6v = 2(u+3v)$

3. Теперь выполним умножение полученных выражений:$(3 + \frac{u}{v}) \cdot \frac{uv}{2u+6v} = \frac{3v+u}{v} \cdot \frac{uv}{2(u+3v)}$

4. Заметим, что $3v+u = u+3v$. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:$\frac{\cancel{(3v+u)}}{\cancel{v}} \cdot \frac{u\cancel{v}}{2\cancel{(u+3v)}} = \frac{u}{2}$

Ответ: $\frac{u}{2}$

в)

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $p$:$4p - \frac{q^2}{p} = \frac{4p \cdot p}{p} - \frac{q^2}{p} = \frac{4p^2 - q^2}{p}$

2. Числитель $4p^2 - q^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(2p-q)(2p+q)$.Выражение в первой скобке равно $\frac{(2p-q)(2p+q)}{p}$.

3. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $q$:$1 - \frac{2p}{q} = \frac{q}{q} - \frac{2p}{q} = \frac{q-2p}{q}$

4. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:$\frac{(2p-q)(2p+q)}{p} : \frac{q-2p}{q} = \frac{(2p-q)(2p+q)}{p} \cdot \frac{q}{q-2p}$

5. Заметим, что множители $(2p-q)$ и $(q-2p)$ отличаются только знаком: $2p-q = -(q-2p)$. Сократим их:$\frac{-(q-2p)(2p+q)}{p} \cdot \frac{q}{q-2p} = \frac{-\cancel{(q-2p)}(2p+q)}{p} \cdot \frac{q}{\cancel{(q-2p)}} = -\frac{q(2p+q)}{p}$

Ответ: $-\frac{q(2p+q)}{p}$

г)

1. Упростим выражение в скобке, приведя к общему знаменателю $s$:$\frac{r}{s} - 2 = \frac{r}{s} - \frac{2s}{s} = \frac{r-2s}{s}$

2. В числителе дроби, на которую делим, вынесем общий множитель 2 за скобки:$4s - 2r = 2(2s-r)$

3. Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:$(\frac{r}{s} - 2) : \frac{4s - 2r}{rs^2} = \frac{r-2s}{s} : \frac{2(2s-r)}{rs^2} = \frac{r-2s}{s} \cdot \frac{rs^2}{2(2s-r)}$

4. Заметим, что $r-2s = -(2s-r)$. Сократим общие множители:$\frac{-(2s-r)}{s} \cdot \frac{rs^2}{2(2s-r)} = \frac{-\cancel{(2s-r)}}{\cancel{s}} \cdot \frac{r s^{\cancel{2}}}{2\cancel{(2s-r)}} = \frac{-rs}{2}$

Ответ: $-\frac{rs}{2}$

6.4 a) $(2 + \frac{t}{t + 1}) : \frac{3t^2 + 3t}{12t + 8};$

б) $(p - \frac{5p}{p + 2}) : \frac{p - 3}{p + 2};$

в) $\frac{z - 3}{z + 3} \cdot (z + \frac{z^2}{3 - z});$

г) $(\frac{q}{q - 5} - 2q) : \frac{11 - 2q}{q - 5}.$

a)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $t+1$:

$2 + \frac{t}{t+1} = \frac{2(t+1)}{t+1} + \frac{t}{t+1} = \frac{2t+2+t}{t+1} = \frac{3t+2}{t+1}$

Теперь упростим делитель, разложив его числитель и знаменатель на множители:

$\frac{3t^2 + 3t}{12t + 8} = \frac{3t(t+1)}{4(3t+2)}$

Выполним деление. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3t+2}{t+1} : \frac{3t(t+1)}{4(3t+2)} = \frac{3t+2}{t+1} \cdot \frac{4(3t+2)}{3t(t+1)}$

Перемножим дроби, объединив числители и знаменатели:

$\frac{(3t+2) \cdot 4(3t+2)}{(t+1) \cdot 3t(t+1)} = \frac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2}$

Ответ: $\frac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2}$

б)

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $p+2$:

$p - \frac{5p}{p+2} = \frac{p(p+2)}{p+2} - \frac{5p}{p+2} = \frac{p^2+2p-5p}{p+2} = \frac{p^2-3p}{p+2}$

Разложим числитель полученной дроби на множители:

$\frac{p(p-3)}{p+2}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{p(p-3)}{p+2} : \frac{p-3}{p+2} = \frac{p(p-3)}{p+2} \cdot \frac{p+2}{p-3}$

Сократим одинаковые множители $(p-3)$ и $(p+2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{p(p-3)(p+2)}{(p+2)(p-3)} = p$

Ответ: $p$

в)

Упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $3-z$:

$z + \frac{z^2}{3-z} = \frac{z(3-z)}{3-z} + \frac{z^2}{3-z} = \frac{3z - z^2 + z^2}{3-z} = \frac{3z}{3-z}$

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{z-3}{z+3} \cdot \frac{3z}{3-z}$

В знаменателе второй дроби вынесем знак минус за скобки, чтобы получить общий множитель: $3-z = -(z-3)$.

$\frac{z-3}{z+3} \cdot \frac{3z}{-(z-3)} = -\frac{(z-3) \cdot 3z}{(z+3)(z-3)}$

Сократим общий множитель $(z-3)$ и получим результат:

$-\frac{3z}{z+3}$

Ответ: $-\frac{3z}{z+3}$

г)

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $q-5$:

$\frac{q}{q-5} - 2q = \frac{q - 2q(q-5)}{q-5} = \frac{q - (2q^2-10q)}{q-5} = \frac{q - 2q^2 + 10q}{q-5} = \frac{11q - 2q^2}{q-5}$

Разложим числитель полученной дроби на множители:

$\frac{q(11-2q)}{q-5}$

Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{q(11-2q)}{q-5} : \frac{11-2q}{q-5} = \frac{q(11-2q)}{q-5} \cdot \frac{q-5}{11-2q}$

Сократим одинаковые множители $(11-2q)$ и $(q-5)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{q(11-2q)(q-5)}{(q-5)(11-2q)} = q$

Ответ: $q$

6.5 a) $ \left(\frac{6}{x-y} - \frac{5}{x+y}\right) \cdot \frac{x-y}{x+11y}; $

б) $ \left(a - \frac{a^2}{a+1}\right) \cdot \frac{a^2-1}{a^2+2a}; $

в) $ \left(\frac{x-2y}{xy} + \frac{1}{x}\right) \cdot \frac{x^2y^2}{x-y}; $

г) $ \frac{cd-d^2}{c^2+d^2} \cdot \left(\frac{c}{c+d} + \frac{d}{c-d}\right). $

а) $(\frac{6}{x-y} - \frac{5}{x+y}) \cdot \frac{x-y}{x+11y}$

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, которым является произведение знаменателей $(x-y)(x+y)$.
$\frac{6}{x-y} - \frac{5}{x+y} = \frac{6(x+y) - 5(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{6x + 6y - 5x + 5y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x + 11y}{(x-y)(x+y)}$.

2. Теперь умножим результат на вторую дробь.
$\frac{x + 11y}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x-y}{x+11y}$.

3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+11y)$ и $(x-y)$.
$\frac{\cancel{x + 11y}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} \cdot \frac{\cancel{x-y}}{\cancel{x+11y}} = \frac{1}{x+y}$.

Ответ: $\frac{1}{x+y}$.

б) $(a - \frac{a^2}{a+1}) \cdot \frac{a^2-1}{a^2+2a}$

1. Упростим выражение в скобках. Представим $a$ как дробь со знаменателем $a+1$.
$a - \frac{a^2}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{a^2}{a+1} = \frac{a(a+1) - a^2}{a+1} = \frac{a^2+a-a^2}{a+1} = \frac{a}{a+1}$.

2. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. Числитель $a^2-1$ - это разность квадратов, а в знаменателе $a^2+2a$ можно вынести общий множитель $a$.
$\frac{a^2-1}{a^2+2a} = \frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}$.

3. Выполним умножение полученных выражений.
$\frac{a}{a+1} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}$.

4. Сократим одинаковые множители $a$ и $(a+1)$.
$\frac{\cancel{a}}{\cancel{a+1}} \cdot \frac{(a-1)(\cancel{a+1})}{\cancel{a}(a+2)} = \frac{a-1}{a+2}$.

Ответ: $\frac{a-1}{a+2}$.

в) $(\frac{x-2y}{xy} + \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^2y^2}{x-y}$

1. Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $xy$.
$\frac{x-2y}{xy} + \frac{1}{x} = \frac{x-2y}{xy} + \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x-2y+y}{xy} = \frac{x-y}{xy}$.

2. Умножим полученную дробь на вторую дробь.
$\frac{x-y}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{x-y}$.

3. Сократим одинаковый множитель $(x-y)$ и дробь $\frac{x^2y^2}{xy}$.
$\frac{\cancel{x-y}}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{\cancel{x-y}} = \frac{x^2y^2}{xy} = xy$.

Ответ: $xy$.

г) $\frac{cd-d^2}{c^2+d^2} \cdot (\frac{c}{c+d} + \frac{d}{c-d})$

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(c+d)(c-d) = c^2-d^2$.
$\frac{c}{c+d} + \frac{d}{c-d} = \frac{c(c-d) + d(c+d)}{(c+d)(c-d)} = \frac{c^2-cd+cd+d^2}{c^2-d^2} = \frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}$.

2. Разложим на множители числитель первой дроби: $cd-d^2 = d(c-d)$.

3. Выполним умножение.
$\frac{d(c-d)}{c^2+d^2} \cdot \frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}$.

4. Сократим множитель $(c^2+d^2)$ и разложим знаменатель $c^2-d^2$ по формуле разности квадратов.
$\frac{d(c-d)}{\cancel{c^2+d^2}} \cdot \frac{\cancel{c^2+d^2}}{c^2-d^2} = \frac{d(c-d)}{(c-d)(c+d)}$.

5. Сократим множитель $(c-d)$.
$\frac{d\cancel{(c-d)}}{\cancel{(c-d)}(c+d)} = \frac{d}{c+d}$.

Ответ: $\frac{d}{c+d}$.

6.6 а) $\left(\frac{1+c^3}{1+c} - c\right) \cdot \frac{1+c}{1-c^2}$;

б) $\frac{b+3}{b^3+9b} \cdot \left(\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-3}{b+3}\right)$;

в) $\left(\frac{3d+1}{2d+2} - 1\right) : \frac{6d-6}{d+1}$;

г) $\frac{x^2-9}{2x^2+1} \cdot \left(\frac{6x+1}{x-3} + \frac{6x-1}{x+3}\right)$.

а)

Упростим выражение $(\frac{1+c^3}{1+c} - c) \cdot \frac{1+c}{1-c^2}$.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к дроби $\frac{1+c^3}{1+c}$:

$\frac{1+c^3}{1+c} = \frac{(1+c)(1^2 - 1 \cdot c + c^2)}{1+c} = 1 - c + c^2$.

2. Теперь подставим это в скобки и вычтем $c$:

$(1 - c + c^2) - c = 1 - 2c + c^2$.

Полученное выражение является полным квадратом: $1 - 2c + c^2 = (1-c)^2$.

3. Упростим второй множитель $\frac{1+c}{1-c^2}$. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя:

$\frac{1+c}{1-c^2} = \frac{1+c}{(1-c)(1+c)} = \frac{1}{1-c}$.

4. Перемножим полученные выражения:

$(1-c)^2 \cdot \frac{1}{1-c} = \frac{(1-c)^2}{1-c} = 1-c$.

Ответ: $1-c$.

б)

Упростим выражение $\frac{b+3}{b^3+9b} \cdot (\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-3}{b+3})$.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{b+3}{b-3}$ и $\frac{b-3}{b+3}$ будет $(b-3)(b+3) = b^2-9$.

$\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-3}{b+3} = \frac{(b+3)(b+3)}{(b-3)(b+3)} + \frac{(b-3)(b-3)}{(b-3)(b+3)} = \frac{(b+3)^2 + (b-3)^2}{b^2-9}$.

2. Раскроем квадраты в числителе:

$(b+3)^2 = b^2+6b+9$

$(b-3)^2 = b^2-6b+9$

$(b^2+6b+9) + (b^2-6b+9) = 2b^2+18 = 2(b^2+9)$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2(b^2+9)}{b^2-9}$.

3. Теперь умножим первый множитель на полученное выражение. Разложим знаменатель первого множителя на множители: $b^3+9b = b(b^2+9)$.

$\frac{b+3}{b(b^2+9)} \cdot \frac{2(b^2+9)}{b^2-9}$

4. Сократим одинаковые множители $(b^2+9)$:

$\frac{b+3}{b} \cdot \frac{2}{b^2-9}$

Разложим знаменатель $b^2-9$ по формуле разности квадратов: $b^2-9 = (b-3)(b+3)$.

$\frac{b+3}{b} \cdot \frac{2}{(b-3)(b+3)}$

5. Сократим одинаковые множители $(b+3)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{2}{b-3} = \frac{2}{b(b-3)}$.

Ответ: $\frac{2}{b(b-3)}$.

в)

Упростим выражение $(\frac{3d+1}{2d+2} - 1) : \frac{6d-6}{d+1}$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $2d+2 = 2(d+1)$.

$\frac{3d+1}{2(d+1)} - 1 = \frac{3d+1}{2(d+1)} - \frac{2(d+1)}{2(d+1)} = \frac{3d+1 - 2(d+1)}{2(d+1)}$.

2. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3d+1 - 2d - 2}{2(d+1)} = \frac{d-1}{2(d+1)}$.

3. Теперь разделим полученное выражение на вторую дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{d-1}{2(d+1)} : \frac{6d-6}{d+1} = \frac{d-1}{2(d+1)} \cdot \frac{d+1}{6d-6}$.

4. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби: $6d-6 = 6(d-1)$.

$\frac{d-1}{2(d+1)} \cdot \frac{d+1}{6(d-1)}$

5. Сократим одинаковые множители $(d-1)$ и $(d+1)$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

г)

Упростим выражение $\frac{x^2-9}{2x^2+1} \cdot (\frac{6x+1}{x-3} + \frac{6x-1}{x+3})$.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{6x+1}{x-3}$ и $\frac{6x-1}{x+3}$ будет $(x-3)(x+3)$.

$\frac{(6x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(6x+1)(x+3) + (6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$.

2. Раскроем скобки в числителе:

$(6x+1)(x+3) = 6x^2 + 18x + x + 3 = 6x^2 + 19x + 3$

$(6x-1)(x-3) = 6x^2 - 18x - x + 3 = 6x^2 - 19x + 3$

Сложим полученные выражения: $(6x^2+19x+3) + (6x^2-19x+3) = 12x^2+6 = 6(2x^2+1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{6(2x^2+1)}{(x-3)(x+3)}$.

3. Теперь умножим первый множитель на полученное выражение. Разложим числитель первого множителя по формуле разности квадратов: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

$\frac{(x-3)(x+3)}{2x^2+1} \cdot \frac{6(2x^2+1)}{(x-3)(x+3)}$

4. Сократим одинаковые множители $(x-3)(x+3)$ и $(2x^2+1)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{6}{1} = 6$.

Ответ: $6$.

6.7 a) $(\frac{m}{n^2 - mn} + \frac{n}{m^2 - mn}) \cdot \frac{mn}{n + m};$

б) $\frac{r^2 - 25}{r + 3} \cdot \frac{1}{r^2 + 5r} - \frac{r + 5}{r^2 - 3r};$

в) $(\frac{st}{s^2 - t^2} + \frac{t}{2t - 2s}) \cdot \frac{s + t}{2t};$

г) $\frac{3a + b}{a^2b - ab^2} + \frac{b - a}{ab} : \frac{a^2 - b^2}{3a - b}.$

а) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатели на множители:
$n^2 - mn = n(n-m)$
$m^2 - mn = m(m-n) = -m(n-m)$
2. Выражение в скобках принимает вид:
$\frac{m}{n(n-m)} + \frac{n}{-m(n-m)} = \frac{m}{n(n-m)} - \frac{n}{m(n-m)}$
3. Общий знаменатель для дробей в скобках равен $mn(n-m)$. Приводим дроби к нему:
$\frac{m \cdot m}{mn(n-m)} - \frac{n \cdot n}{mn(n-m)} = \frac{m^2 - n^2}{mn(n-m)}$
4. Разложим числитель по формуле разности квадратов $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$:
$\frac{(m-n)(m+n)}{mn(n-m)} = \frac{-(n-m)(m+n)}{mn(n-m)} = -\frac{m+n}{mn}$
5. Теперь выполним умножение:
$(-\frac{m+n}{mn}) \cdot \frac{mn}{n+m} = -1$
Ответ: $-1$

б) Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем вычитание.
1. Разложим знаменатели и числители на множители:
$r^2-25 = (r-5)(r+5)$
$r^2+5r = r(r+5)$
$r^2-3r = r(r-3)$
2. Подставим разложенные выражения и выполним умножение:
$\frac{r^2-25}{r+3} \cdot \frac{1}{r^2+5r} = \frac{(r-5)(r+5)}{r+3} \cdot \frac{1}{r(r+5)} = \frac{r-5}{r(r+3)}$
3. Теперь выполним вычитание:
$\frac{r-5}{r(r+3)} - \frac{r+5}{r(r-3)}$
4. Общий знаменатель $r(r+3)(r-3)$. Приводим дроби к нему:
$\frac{(r-5)(r-3)}{r(r+3)(r-3)} - \frac{(r+5)(r+3)}{r(r+3)(r-3)} = \frac{(r^2-3r-5r+15) - (r^2+3r+5r+15)}{r(r^2-9)}$
5. Упростим числитель:
$\frac{r^2-8r+15 - (r^2+8r+15)}{r(r^2-9)} = \frac{r^2-8r+15 - r^2-8r-15}{r(r^2-9)} = \frac{-16r}{r(r^2-9)}$
6. Сократим дробь:
$\frac{-16r}{r(r^2-9)} = -\frac{16}{r^2-9}$
Ответ: $-\frac{16}{r^2-9}$

в) Сначала выполним действие в скобках, затем умножение.
1. Разложим знаменатели в скобках на множители:
$s^2-t^2 = (s-t)(s+t)$
$2t-2s = 2(t-s) = -2(s-t)$
2. Выражение в скобках примет вид:
$\frac{st}{(s-t)(s+t)} + \frac{t}{-2(s-t)} = \frac{st}{(s-t)(s+t)} - \frac{t}{2(s-t)}$
3. Общий знаменатель $2(s-t)(s+t)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{2st}{2(s-t)(s+t)} - \frac{t(s+t)}{2(s-t)(s+t)} = \frac{2st - ts - t^2}{2(s-t)(s+t)} = \frac{st-t^2}{2(s-t)(s+t)}$
4. Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{t(s-t)}{2(s-t)(s+t)} = \frac{t}{2(s+t)}$
5. Теперь выполним умножение:
$\frac{t}{2(s+t)} \cdot \frac{s+t}{2t} = \frac{t(s+t)}{4t(s+t)} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

г) Порядок действий: сначала деление, затем сложение.
1. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{b-a}{ab} : \frac{a^2-b^2}{3a-b} = \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{3a-b}{a^2-b^2}$
2. Разложим выражения на множители:
$b-a = -(a-b)$
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
3. Подставим и сократим:
$\frac{-(a-b)}{ab} \cdot \frac{3a-b}{(a-b)(a+b)} = -\frac{3a-b}{ab(a+b)}$
4. Теперь выполним сложение с первой дробью. Разложим ее знаменатель: $a^2b - ab^2 = ab(a-b)$.
$\frac{3a+b}{ab(a-b)} + (-\frac{3a-b}{ab(a+b)}) = \frac{3a+b}{ab(a-b)} - \frac{3a-b}{ab(a+b)}$
5. Общий знаменатель $ab(a-b)(a+b) = ab(a^2-b^2)$. Приводим дроби к нему:
$\frac{(3a+b)(a+b)}{ab(a^2-b^2)} - \frac{(3a-b)(a-b)}{ab(a^2-b^2)}$
6. Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(3a^2+3ab+ab+b^2) - (3a^2-3ab-ab+b^2)}{ab(a^2-b^2)} = \frac{(3a^2+4ab+b^2) - (3a^2-4ab+b^2)}{ab(a^2-b^2)}$
7. Упростим числитель:
$\frac{3a^2+4ab+b^2 - 3a^2+4ab-b^2}{ab(a^2-b^2)} = \frac{8ab}{ab(a^2-b^2)}$
8. Сократим дробь:
$\frac{8}{a^2-b^2}$
Ответ: $\frac{8}{a^2-b^2}$

6.8 Найдите значение выражения:

а) $ \left(\frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1}\right) : \frac{4m}{10m - 5} $ при $ m = \frac{3}{14} $;

б) $ \left(\frac{a}{b - a} - \frac{a}{b + a}\right) \cdot \frac{b^2 + 2ab + a^2}{2a^2} $ при $ a = 23 $ и $ b = 33 $.

а) Найдем значение выражения $ (\frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1}) : \frac{4m}{10m - 5} $ при $ m = \frac{3}{14} $.

Сначала упростим выражение по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2m - 1)(2m + 1) $, который по формуле разности квадратов равен $ 4m^2 - 1 $.

$ \frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1} = \frac{(2m + 1)(2m + 1)}{(2m - 1)(2m + 1)} - \frac{(2m - 1)(2m - 1)}{(2m - 1)(2m + 1)} = \frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)} $

Раскроем числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $a = 2m+1$ и $b = 2m-1$.

$ (2m + 1)^2 - (2m - 1)^2 = ((2m+1) - (2m-1))((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{8m}{(2m - 1)(2m + 1)} = \frac{8m}{4m^2 - 1} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Также разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 10m - 5 = 5(2m - 1) $.

$ \frac{8m}{4m^2 - 1} : \frac{4m}{10m - 5} = \frac{8m}{(2m - 1)(2m + 1)} \cdot \frac{5(2m - 1)}{4m} $

3. Сократим полученную дробь:

$ \frac{8m \cdot 5(2m - 1)}{(2m - 1)(2m + 1) \cdot 4m} = \frac{2 \cdot 5}{2m + 1} = \frac{10}{2m + 1} $

4. Подставим значение $ m = \frac{3}{14} $ в упрощенное выражение:

$ \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{14} + 1} = \frac{10}{\frac{6}{14} + 1} = \frac{10}{\frac{3}{7} + 1} = \frac{10}{\frac{3}{7} + \frac{7}{7}} = \frac{10}{\frac{10}{7}} = 10 \cdot \frac{7}{10} = 7 $

Ответ: 7

б) Найдем значение выражения $ (\frac{a}{b - a} - \frac{a}{b + a}) \cdot \frac{b^2 + 2ab + a^2}{2a^2} $ при $ a = 23 $ и $ b = 33 $.

Сначала упростим выражение по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $ (b - a)(b + a) $, что равно $ b^2 - a^2 $.

$ \frac{a}{b - a} - \frac{a}{b + a} = \frac{a(b + a) - a(b - a)}{(b - a)(b + a)} = \frac{ab + a^2 - ab + a^2}{b^2 - a^2} = \frac{2a^2}{b^2 - a^2} $

2. Теперь выполним умножение. Заметим, что числитель второй дроби является полным квадратом: $ b^2 + 2ab + a^2 = (b + a)^2 $.

$ \frac{2a^2}{b^2 - a^2} \cdot \frac{(b + a)^2}{2a^2} $

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) $.

$ \frac{2a^2}{(b - a)(b + a)} \cdot \frac{(b + a)^2}{2a^2} $

Сократим общие множители $ 2a^2 $ и $ (b+a) $:

$ \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b + a}{1} = \frac{b + a}{b - a} $

3. Подставим значения $ a = 23 $ и $ b = 33 $ в упрощенное выражение:

$ \frac{33 + 23}{33 - 23} = \frac{56}{10} = 5.6 $

Ответ: 5.6

Докажите тождество:

6.9 а) $\frac{\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x+y} - \frac{1}{x-y}} = -\frac{x}{y}$

б) $\frac{\frac{2}{x} - \frac{x-2}{x^2-x}}{\frac{3}{x} + \frac{x+3}{x^2-x}} = \frac{1}{4}$

в) $\frac{\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y}}{\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y}} = \frac{y}{x}$

г) $\frac{\frac{1}{x-1} - \frac{4-x}{x^2-x}}{\frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x^2-x}} = 2$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в числителе и знаменателе.
1. Упростим числитель:
$ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} = \frac{2x}{x^2-y^2} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y-(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y-x-y}{x^2-y^2} = \frac{-2y}{x^2-y^2} $
3. Разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:
$ \frac{\frac{2x}{x^2-y^2}}{\frac{-2y}{x^2-y^2}} = \frac{2x}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{-2y} = \frac{2x}{-2y} = -\frac{x}{y} $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Для начала разложим знаменатель $x^2-x$ на множители: $x^2-x = x(x-1)$.
1. Упростим числитель:
$ \frac{2}{x} - \frac{x-2}{x^2-x} = \frac{2}{x} - \frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2(x-1)}{x(x-1)} - \frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2x-2-(x-2)}{x(x-1)} = \frac{2x-2-x+2}{x(x-1)} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{3}{x} + \frac{x+3}{x^2-x} = \frac{3}{x} + \frac{x+3}{x(x-1)} = \frac{3(x-1)}{x(x-1)} + \frac{x+3}{x(x-1)} = \frac{3x-3+x+3}{x(x-1)} = \frac{4x}{x(x-1)} = \frac{4}{x-1} $
3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{4}{x-1}} = \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{4} = \frac{1}{4} $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в числителе и знаменателе.
1. Упростим числитель:
$ \frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y+x+y}{x^2-y^2} = \frac{2x}{x^2-y^2} $
3. Разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:
$ \frac{\frac{2y}{x^2-y^2}}{\frac{2x}{x^2-y^2}} = \frac{2y}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x} = \frac{2y}{2x} = \frac{y}{x} $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Для начала разложим знаменатель $x^2-x$ на множители: $x^2-x = x(x-1)$.
1. Упростим числитель:
$ \frac{1}{x-1} - \frac{4-x}{x^2-x} = \frac{1}{x-1} - \frac{4-x}{x(x-1)} = \frac{x}{x(x-1)} - \frac{4-x}{x(x-1)} = \frac{x-(4-x)}{x(x-1)} = \frac{x-4+x}{x(x-1)} = \frac{2x-4}{x(x-1)} = \frac{2(x-2)}{x(x-1)} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x^2-x} = \frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x(x-1)} = \frac{2x}{x(x-1)} - \frac{x+2}{x(x-1)} = \frac{2x-(x+2)}{x(x-1)} = \frac{2x-x-2}{x(x-1)} = \frac{x-2}{x(x-1)} $
3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{2(x-2)}{x(x-1)}}{\frac{x-2}{x(x-1)}} = \frac{2(x-2)}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x-1)}{x-2} = 2 $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.