Номер 6.3, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.3, страница 44.

Условие.

6.3 а) $(\frac{m^2}{n} - n) : (\frac{m}{n} + 1)$;

б) $(3 + \frac{u}{v}) \cdot \frac{uv}{2u + 6v}$;

в) $(4p - \frac{q^2}{p}) : (1 - \frac{2p}{q})$;

г) $(\frac{r}{s} - 2) : \frac{4s - 2r}{rs^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

1. Приведем к общему знаменателю выражение в первой скобке:$\frac{m^2}{n} - n = \frac{m^2}{n} - \frac{n \cdot n}{n} = \frac{m^2 - n^2}{n}$

Числитель является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.Таким образом, первое выражение равно $\frac{(m-n)(m+n)}{n}$.

2. Приведем к общему знаменателю выражение во второй скобке:$\frac{m}{n} + 1 = \frac{m}{n} + \frac{n}{n} = \frac{m+n}{n}$

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:$(\frac{m^2}{n} - n) : (\frac{m}{n} + 1) = \frac{(m-n)(m+n)}{n} : \frac{m+n}{n} = \frac{(m-n)(m+n)}{n} \cdot \frac{n}{m+n}$

4. Сократим общие множители $n$ и $(m+n)$ в числителе и знаменателе:$\frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{\cancel{n}} \cdot \frac{\cancel{n}}{\cancel{m+n}} = m-n$

Ответ: $m-n$

б)

1. Упростим выражение в скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $v$:$3 + \frac{u}{v} = \frac{3v}{v} + \frac{u}{v} = \frac{3v+u}{v}$

2. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 2 за скобки:$2u+6v = 2(u+3v)$

3. Теперь выполним умножение полученных выражений:$(3 + \frac{u}{v}) \cdot \frac{uv}{2u+6v} = \frac{3v+u}{v} \cdot \frac{uv}{2(u+3v)}$

4. Заметим, что $3v+u = u+3v$. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:$\frac{\cancel{(3v+u)}}{\cancel{v}} \cdot \frac{u\cancel{v}}{2\cancel{(u+3v)}} = \frac{u}{2}$

Ответ: $\frac{u}{2}$

в)

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $p$:$4p - \frac{q^2}{p} = \frac{4p \cdot p}{p} - \frac{q^2}{p} = \frac{4p^2 - q^2}{p}$

2. Числитель $4p^2 - q^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(2p-q)(2p+q)$.Выражение в первой скобке равно $\frac{(2p-q)(2p+q)}{p}$.

3. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $q$:$1 - \frac{2p}{q} = \frac{q}{q} - \frac{2p}{q} = \frac{q-2p}{q}$

4. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:$\frac{(2p-q)(2p+q)}{p} : \frac{q-2p}{q} = \frac{(2p-q)(2p+q)}{p} \cdot \frac{q}{q-2p}$

5. Заметим, что множители $(2p-q)$ и $(q-2p)$ отличаются только знаком: $2p-q = -(q-2p)$. Сократим их:$\frac{-(q-2p)(2p+q)}{p} \cdot \frac{q}{q-2p} = \frac{-\cancel{(q-2p)}(2p+q)}{p} \cdot \frac{q}{\cancel{(q-2p)}} = -\frac{q(2p+q)}{p}$

Ответ: $-\frac{q(2p+q)}{p}$

г)

1. Упростим выражение в скобке, приведя к общему знаменателю $s$:$\frac{r}{s} - 2 = \frac{r}{s} - \frac{2s}{s} = \frac{r-2s}{s}$

2. В числителе дроби, на которую делим, вынесем общий множитель 2 за скобки:$4s - 2r = 2(2s-r)$

3. Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:$(\frac{r}{s} - 2) : \frac{4s - 2r}{rs^2} = \frac{r-2s}{s} : \frac{2(2s-r)}{rs^2} = \frac{r-2s}{s} \cdot \frac{rs^2}{2(2s-r)}$

4. Заметим, что $r-2s = -(2s-r)$. Сократим общие множители:$\frac{-(2s-r)}{s} \cdot \frac{rs^2}{2(2s-r)} = \frac{-\cancel{(2s-r)}}{\cancel{s}} \cdot \frac{r s^{\cancel{2}}}{2\cancel{(2s-r)}} = \frac{-rs}{2}$

Ответ: $-\frac{rs}{2}$