Номер 6.9, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.9, страница 44.

Условие.

Докажите тождество:

6.9 а) $\frac{\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x+y} - \frac{1}{x-y}} = -\frac{x}{y}$

б) $\frac{\frac{2}{x} - \frac{x-2}{x^2-x}}{\frac{3}{x} + \frac{x+3}{x^2-x}} = \frac{1}{4}$

в) $\frac{\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y}}{\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y}} = \frac{y}{x}$

г) $\frac{\frac{1}{x-1} - \frac{4-x}{x^2-x}}{\frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x^2-x}} = 2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в числителе и знаменателе.
1. Упростим числитель:
$ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} = \frac{2x}{x^2-y^2} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y-(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y-x-y}{x^2-y^2} = \frac{-2y}{x^2-y^2} $
3. Разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:
$ \frac{\frac{2x}{x^2-y^2}}{\frac{-2y}{x^2-y^2}} = \frac{2x}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{-2y} = \frac{2x}{-2y} = -\frac{x}{y} $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Для начала разложим знаменатель $x^2-x$ на множители: $x^2-x = x(x-1)$.
1. Упростим числитель:
$ \frac{2}{x} - \frac{x-2}{x^2-x} = \frac{2}{x} - \frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2(x-1)}{x(x-1)} - \frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2x-2-(x-2)}{x(x-1)} = \frac{2x-2-x+2}{x(x-1)} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{3}{x} + \frac{x+3}{x^2-x} = \frac{3}{x} + \frac{x+3}{x(x-1)} = \frac{3(x-1)}{x(x-1)} + \frac{x+3}{x(x-1)} = \frac{3x-3+x+3}{x(x-1)} = \frac{4x}{x(x-1)} = \frac{4}{x-1} $
3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{4}{x-1}} = \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{4} = \frac{1}{4} $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в числителе и знаменателе.
1. Упростим числитель:
$ \frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y+x+y}{x^2-y^2} = \frac{2x}{x^2-y^2} $
3. Разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:
$ \frac{\frac{2y}{x^2-y^2}}{\frac{2x}{x^2-y^2}} = \frac{2y}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x} = \frac{2y}{2x} = \frac{y}{x} $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Для начала разложим знаменатель $x^2-x$ на множители: $x^2-x = x(x-1)$.
1. Упростим числитель:
$ \frac{1}{x-1} - \frac{4-x}{x^2-x} = \frac{1}{x-1} - \frac{4-x}{x(x-1)} = \frac{x}{x(x-1)} - \frac{4-x}{x(x-1)} = \frac{x-(4-x)}{x(x-1)} = \frac{x-4+x}{x(x-1)} = \frac{2x-4}{x(x-1)} = \frac{2(x-2)}{x(x-1)} $
2. Упростим знаменатель:
$ \frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x^2-x} = \frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x(x-1)} = \frac{2x}{x(x-1)} - \frac{x+2}{x(x-1)} = \frac{2x-(x+2)}{x(x-1)} = \frac{2x-x-2}{x(x-1)} = \frac{x-2}{x(x-1)} $
3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{2(x-2)}{x(x-1)}}{\frac{x-2}{x(x-1)}} = \frac{2(x-2)}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x-1)}{x-2} = 2 $
Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.