Номер 6.15, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.15, страница 45.

Условие.

Докажите тождество:

6.15

$\left(\frac{8y^2 + 2y}{8y^3 - 1} - \frac{2y + 1}{4y^2 + 2y + 1}\right) \cdot \left(1 + \frac{2y + 1}{2y} - \frac{4y^2 + 10y}{4y^2 + 2y}\right) : \frac{1}{2y} = \frac{2y - 1}{2y + 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке:

$ \frac{8y^2+2y}{8y^3-1} - \frac{2y+1}{4y^2+2y+1} $

Знаменатель первой дроби, $8y^3-1$, является разностью кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ 8y^3-1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y-1)(4y^2+2y+1) $

Теперь выражение в скобках можно записать так:

$ \frac{8y^2+2y}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} - \frac{2y+1}{4y^2+2y+1} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(2y-1)(4y^2+2y+1)$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(2y-1)$:

$ \frac{8y^2+2y}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} - \frac{(2y+1)(2y-1)}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} $

Объединим дроби и упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ для выражения $(2y+1)(2y-1)=4y^2-1$:

$ \frac{8y^2+2y - (4y^2-1)}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} = \frac{8y^2+2y-4y^2+1}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} = \frac{4y^2+2y+1}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $(4y^2+2y+1)$:

$ \frac{1}{2y-1} $

2. Упростим выражение во второй скобке:

$ 1 + \frac{2y+1}{2y} - \frac{4y^2+10y}{4y^2+2y} $

Сначала упростим последнюю дробь, вынеся общий множитель $2y$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{4y^2+10y}{4y^2+2y} = \frac{2y(2y+5)}{2y(2y+1)} = \frac{2y+5}{2y+1} $

Теперь выражение во второй скобке имеет вид:

$ 1 + \frac{2y+1}{2y} - \frac{2y+5}{2y+1} $

Приведем все члены к общему знаменателю $2y(2y+1)$:

$ \frac{2y(2y+1)}{2y(2y+1)} + \frac{(2y+1)(2y+1)}{2y(2y+1)} - \frac{2y(2y+5)}{2y(2y+1)} $

Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(4y^2+2y) + (4y^2+4y+1) - (4y^2+10y)}{2y(2y+1)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{4y^2+2y+4y^2+4y+1-4y^2-10y}{2y(2y+1)} = \frac{4y^2-4y+1}{2y(2y+1)} $

Числитель $4y^2-4y+1$ является полным квадратом разности $(2y-1)^2$. Таким образом, получаем:

$ \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} $

3. Выполним умножение и деление с результатами, полученными в предыдущих действиях.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{1}{2y-1} \cdot \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} : \frac{1}{2y} $

Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$ \frac{1}{2y-1} \cdot \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)} \cdot \frac{2y}{1} $

Выполним умножение и сократим общие множители $(2y-1)$ и $2y$:

$ \frac{1 \cdot (2y-1)^2 \cdot 2y}{(2y-1) \cdot 2y(2y+1) \cdot 1} = \frac{2y-1}{2y+1} $

В результате преобразования левой части тождества мы получили выражение $ \frac{2y-1}{2y+1} $, которое равно правой части тождества.

Ответ: Тождество доказано.