Номер 6.13, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 6. Преобразование рациональных выражений - номер 6.13, страница 45.

Условие.

6.13 a) $ \frac{9n + 27}{3n^2 - n^3} + \left(\frac{3n + 9}{n - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3n - 9} + \frac{2}{9 - n^2} - \frac{1}{n^2 + 3n}\right); $

б) $ \left(\frac{2}{2p - q} + \frac{6q}{q^2 - 4p^2} - \frac{4}{2p + q}\right) : \left(1 + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$ \frac{9n + 27}{3n^2 - n^3} + \left(\frac{3n + 9}{n - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3n - 9} + \frac{2}{9 - n^2} - \frac{1}{n^2 + 3n}\right) $

1. Сначала выполним действия в скобках, а затем умножение и сложение. Преобразуем выражение в больших скобках: $ \frac{1}{3n - 9} + \frac{2}{9 - n^2} - \frac{1}{n^2 + 3n} $.

Разложим знаменатели на множители: $ 3n - 9 = 3(n - 3) $, $ 9 - n^2 = (3 - n)(3 + n) = -(n - 3)(n + 3) $, $ n^2 + 3n = n(n + 3) $.

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$ \frac{1}{3(n - 3)} + \frac{2}{-(n - 3)(n + 3)} - \frac{1}{n(n + 3)} = \frac{1}{3(n - 3)} - \frac{2}{(n - 3)(n + 3)} - \frac{1}{n(n + 3)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 3n(n - 3)(n + 3) $:

$ \frac{n(n + 3)}{3n(n - 3)(n + 3)} - \frac{2 \cdot 3n}{3n(n - 3)(n + 3)} - \frac{3(n - 3)}{3n(n - 3)(n + 3)} = \frac{n^2 + 3n - 6n - 3n + 9}{3n(n - 3)(n + 3)} $

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $ n^2 - 6n + 9 $. Это полный квадрат: $ (n - 3)^2 $.

В результате выражение в скобках равно: $ \frac{(n - 3)^2}{3n(n - 3)(n + 3)} = \frac{n - 3}{3n(n + 3)} $.

2. Теперь выполним умножение: $ \left(\frac{3n + 9}{n - 3}\right)^2 \cdot \frac{n - 3}{3n(n + 3)} $.

Упростим первый множитель: $ \left(\frac{3(n + 3)}{n - 3}\right)^2 = \frac{9(n + 3)^2}{(n - 3)^2} $.

Выполним умножение: $ \frac{9(n + 3)^2}{(n - 3)^2} \cdot \frac{n - 3}{3n(n + 3)} $. Сократим общие множители:

$ \frac{9(n + 3)^2 \cdot (n - 3)}{(n - 3)^2 \cdot 3n(n + 3)} = \frac{3(n + 3)}{n(n - 3)} $.

3. Наконец, выполним сложение с первым членом исходного выражения.

Упростим первый член: $ \frac{9n + 27}{3n^2 - n^3} = \frac{9(n + 3)}{n^2(3 - n)} = -\frac{9(n + 3)}{n^2(n - 3)} $.

Выполним сложение: $ -\frac{9(n + 3)}{n^2(n - 3)} + \frac{3(n + 3)}{n(n - 3)} $.

Приведем к общему знаменателю $ n^2(n - 3) $:

$ -\frac{9(n + 3)}{n^2(n - 3)} + \frac{3n(n + 3)}{n^2(n - 3)} = \frac{-9(n + 3) + 3n(n + 3)}{n^2(n - 3)} $

Вынесем общий множитель $ (n + 3) $ в числителе: $ \frac{(n + 3)(-9 + 3n)}{n^2(n - 3)} = \frac{(n + 3) \cdot 3(n - 3)}{n^2(n - 3)} $.

Сократим дробь на $ (n - 3) $: $ \frac{3(n + 3)}{n^2} $.

Ответ: $ \frac{3(n+3)}{n^2} $

б)

Упростим выражение по действиям. Исходное выражение:

$ \left(\frac{2}{2p - q} + \frac{6q}{q^2 - 4p^2} - \frac{4}{2p + q}\right) : \left(1 + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2}\right) $

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $ \frac{2}{2p - q} + \frac{6q}{q^2 - 4p^2} - \frac{4}{2p + q} $.

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $ q^2 - 4p^2 = (q - 2p)(q + 2p) = -(2p - q)(2p + q) $.

Подставим и вынесем минус перед дробью:

$ \frac{2}{2p - q} - \frac{6q}{(2p - q)(2p + q)} - \frac{4}{2p + q} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (2p - q)(2p + q) = 4p^2 - q^2 $:

$ \frac{2(2p + q)}{(2p - q)(2p + q)} - \frac{6q}{(2p - q)(2p + q)} - \frac{4(2p - q)}{(2p - q)(2p + q)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{2(2p + q) - 6q - 4(2p - q)}{4p^2 - q^2} = \frac{4p + 2q - 6q - 8p + 4q}{4p^2 - q^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(4p - 8p) + (2q - 6q + 4q)}{4p^2 - q^2} = \frac{-4p}{4p^2 - q^2} $.

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ 1 + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2} $.

Представим 1 как дробь со знаменателем $ 4p^2 - q^2 $:

$ \frac{4p^2 - q^2}{4p^2 - q^2} + \frac{4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2} = \frac{4p^2 - q^2 + 4p^2 + q^2}{4p^2 - q^2} = \frac{8p^2}{4p^2 - q^2} $.

3. Выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$ \frac{-4p}{4p^2 - q^2} : \frac{8p^2}{4p^2 - q^2} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{-4p}{4p^2 - q^2} \cdot \frac{4p^2 - q^2}{8p^2} $

Сократим общий множитель $ (4p^2 - q^2) $:

$ \frac{-4p}{8p^2} $

Сократим дробь на $ 4p $: $ -\frac{1}{2p} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2p} $