Номер 6.11, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.11, страница 45.

Условие.

Упростите выражение:

6.11 a) $\left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2 + 2ab + b^2}\right) : \left(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2}\right);$

б) $\frac{z-2}{4z^2 + 16z + 16} : \left(\frac{z}{2z-4} - \frac{z^2+4}{2z^2-8} - \frac{2}{z^2+2z}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2 + 2ab + b^2})$.

Знаменатель второй дроби $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)^2$:

$\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b)}{(a+b)^2} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b) - a^3}{(a+b)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^3 + a^2b - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2b}{(a+b)^2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках: $(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2})$.

Знаменатель второй дроби $a^2 - b^2$ является разностью квадратов $(a-b)(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - a^2}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{a^2 - ab - a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2b}{(a+b)^2} : \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2b}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{-ab}$

Сократим общие множители $a$, $b$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a \cdot (a-b)}{-(a+b)} = -\frac{a(a-b)}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$

Ответ: $\frac{a(b-a)}{a+b}$

б)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим первую дробь (делимое): $\frac{z-2}{4z^2 + 16z + 16}$.

Вынесем общий множитель 4 из знаменателя и свернем его по формуле квадрата суммы:

$4z^2 + 16z + 16 = 4(z^2 + 4z + 4) = 4(z+2)^2$.

Таким образом, делимое равно $\frac{z-2}{4(z+2)^2}$.

2. Упростим выражение в скобках (делитель): $(\frac{z}{2z-4} - \frac{z^2+4}{2z^2-8} - \frac{2}{z^2+2z})$.

Разложим знаменатели всех дробей на множители:

$2z-4 = 2(z-2)$

$2z^2-8 = 2(z^2-4) = 2(z-2)(z+2)$

$z^2+2z = z(z+2)$

Приведем дроби к общему знаменателю $2z(z-2)(z+2)$:

$\frac{z \cdot z(z+2)}{2z(z-2)(z+2)} - \frac{(z^2+4) \cdot z}{2z(z-2)(z+2)} - \frac{2 \cdot 2(z-2)}{2z(z-2)(z+2)}$

Объединим числители под одной дробной чертой:

$\frac{z^2(z+2) - z(z^2+4) - 4(z-2)}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z^3+2z^2 - z^3-4z - 4z+8}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{2z^2-8z+8}{2z(z-2)(z+2)}$

Вынесем общий множитель в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$2z^2-8z+8 = 2(z^2-4z+4) = 2(z-2)^2$.

Теперь выражение в скобках равно:

$\frac{2(z-2)^2}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z-2}{z(z+2)}$

3. Выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{z-2}{4(z+2)^2} : \frac{z-2}{z(z+2)} = \frac{z-2}{4(z+2)^2} \cdot \frac{z(z+2)}{z-2}$

Сократим общие множители $(z-2)$ и $(z+2)$:

$\frac{1}{4(z+2)} \cdot \frac{z}{1} = \frac{z}{4(z+2)}$

Ответ: $\frac{z}{4(z+2)}$