Номер 6.11, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.11, страница 45.
№6.11 (с. 45)
Условие. №6.11 (с. 45)
скриншот условия

Упростите выражение:
6.11 a) $\left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2 + 2ab + b^2}\right) : \left(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2}\right);$
б) $\frac{z-2}{4z^2 + 16z + 16} : \left(\frac{z}{2z-4} - \frac{z^2+4}{2z^2-8} - \frac{2}{z^2+2z}\right).$
Решение 1. №6.11 (с. 45)


Решение 2. №6.11 (с. 45)

Решение 4. №6.11 (с. 45)

Решение 6. №6.11 (с. 45)
а)
Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.
1. Упростим выражение в первых скобках: $(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2 + 2ab + b^2})$.
Знаменатель второй дроби $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)^2$:
$\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b)}{(a+b)^2} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b) - a^3}{(a+b)^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{a^3 + a^2b - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2b}{(a+b)^2}$
2. Упростим выражение во вторых скобках: $(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2 - b^2})$.
Знаменатель второй дроби $a^2 - b^2$ является разностью квадратов $(a-b)(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - a^2}{(a-b)(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{a^2 - ab - a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$
3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$\frac{a^2b}{(a+b)^2} : \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2b}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{-ab}$
Сократим общие множители $a$, $b$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a \cdot (a-b)}{-(a+b)} = -\frac{a(a-b)}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$
Ответ: $\frac{a(b-a)}{a+b}$
б)
Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.
1. Упростим первую дробь (делимое): $\frac{z-2}{4z^2 + 16z + 16}$.
Вынесем общий множитель 4 из знаменателя и свернем его по формуле квадрата суммы:
$4z^2 + 16z + 16 = 4(z^2 + 4z + 4) = 4(z+2)^2$.
Таким образом, делимое равно $\frac{z-2}{4(z+2)^2}$.
2. Упростим выражение в скобках (делитель): $(\frac{z}{2z-4} - \frac{z^2+4}{2z^2-8} - \frac{2}{z^2+2z})$.
Разложим знаменатели всех дробей на множители:
$2z-4 = 2(z-2)$
$2z^2-8 = 2(z^2-4) = 2(z-2)(z+2)$
$z^2+2z = z(z+2)$
Приведем дроби к общему знаменателю $2z(z-2)(z+2)$:
$\frac{z \cdot z(z+2)}{2z(z-2)(z+2)} - \frac{(z^2+4) \cdot z}{2z(z-2)(z+2)} - \frac{2 \cdot 2(z-2)}{2z(z-2)(z+2)}$
Объединим числители под одной дробной чертой:
$\frac{z^2(z+2) - z(z^2+4) - 4(z-2)}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z^3+2z^2 - z^3-4z - 4z+8}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{2z^2-8z+8}{2z(z-2)(z+2)}$
Вынесем общий множитель в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:
$2z^2-8z+8 = 2(z^2-4z+4) = 2(z-2)^2$.
Теперь выражение в скобках равно:
$\frac{2(z-2)^2}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z-2}{z(z+2)}$
3. Выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{z-2}{4(z+2)^2} : \frac{z-2}{z(z+2)} = \frac{z-2}{4(z+2)^2} \cdot \frac{z(z+2)}{z-2}$
Сократим общие множители $(z-2)$ и $(z+2)$:
$\frac{1}{4(z+2)} \cdot \frac{z}{1} = \frac{z}{4(z+2)}$
Ответ: $\frac{z}{4(z+2)}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6.11 расположенного на странице 45 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.11 (с. 45), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.