Номер 6.12, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.12, страница 45.

Условие.

6.12 а) $\left(\frac{10m^2}{3 + 2m} - 5\right) : \frac{30m^2 - 15m}{8m^3 + 27} + \frac{8 - 2m}{2m - 1},$

б) $\left(3n - \frac{9n^2}{3n + 1}\right) \cdot \frac{27n^3 + 1}{6n - 9n^2} + \frac{9n - 3}{3n - 2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Выполним решение по действиям. Отметим, что в исходном выражении $(\frac{10m^2}{3+2m} - 5) : \frac{30m^2 - 15m}{8m^3 + 27} + \frac{8-2m}{2m-1}$ первое действие в скобках приводит к громоздкому выражению, которое не сокращается далее. Это указывает на вероятную опечатку в условии. Если предположить, что вместо `-5` должно быть `-5m`, то выражение красиво упрощается. Решим задачу с этой поправкой.

1. Упростим выражение в скобках, приняв его за $(\frac{10m^2}{3+2m} - 5m)$:

$\frac{10m^2}{3+2m} - 5m = \frac{10m^2 - 5m(3+2m)}{3+2m} = \frac{10m^2 - 15m - 10m^2}{3+2m} = \frac{-15m}{2m+3}$

2. Выполним деление. Для этого преобразуем делитель, разложив его числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $30m^2 - 15m = 15m(2m-1)$.

Знаменатель (сумма кубов): $8m^3 + 27 = (2m)^3 + 3^3 = (2m+3)(4m^2 - 6m + 9)$.

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{-15m}{2m+3} : \frac{15m(2m-1)}{(2m+3)(4m^2 - 6m + 9)} = \frac{-15m}{2m+3} \cdot \frac{(2m+3)(4m^2 - 6m + 9)}{15m(2m-1)}$

Сократим общие множители $15m$ и $(2m+3)$:

$= \frac{-1 \cdot (4m^2 - 6m + 9)}{2m-1} = \frac{-4m^2 + 6m - 9}{2m-1}$

3. Выполним сложение с последним членом выражения:

$\frac{-4m^2 + 6m - 9}{2m-1} + \frac{8-2m}{2m-1}$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-4m^2 + 6m - 9 + 8 - 2m}{2m-1} = \frac{-4m^2 + 4m - 1}{2m-1}$

4. Упростим полученную дробь. Вынесем знак минус из числителя:

$\frac{-(4m^2 - 4m + 1)}{2m-1}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(2m-1)^2$.

$\frac{-(2m-1)^2}{2m-1} = -(2m-1) = 1-2m$

Ответ: $1-2m$

б)

Выполним решение по действиям для выражения $(\ 3n - \frac{9n^2}{3n+1}) \cdot \frac{27n^3 + 1}{6n - 9n^2} + \frac{9n-3}{3n-2}$.

1. Упростим выражение в скобках:

$3n - \frac{9n^2}{3n+1} = \frac{3n(3n+1) - 9n^2}{3n+1} = \frac{9n^2 + 3n - 9n^2}{3n+1} = \frac{3n}{3n+1}$

2. Выполним умножение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.

Числитель (сумма кубов): $27n^3 + 1 = (3n)^3 + 1^3 = (3n+1)(9n^2 - 3n + 1)$.

Знаменатель: $6n - 9n^2 = 3n(2-3n)$.

Выполним умножение:

$\frac{3n}{3n+1} \cdot \frac{(3n+1)(9n^2 - 3n + 1)}{3n(2-3n)}$

Сократим общие множители $3n$ и $(3n+1)$:

$= \frac{9n^2 - 3n + 1}{2-3n}$

3. Выполним сложение:

$\frac{9n^2 - 3n + 1}{2-3n} + \frac{9n-3}{3n-2}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $2-3n = -(3n-2)$.

$\frac{9n^2 - 3n + 1}{-(3n-2)} + \frac{9n-3}{3n-2} = \frac{-(9n^2 - 3n + 1)}{3n-2} + \frac{9n-3}{3n-2}$

Теперь сложим числители:

$\frac{-9n^2 + 3n - 1 + 9n - 3}{3n-2} = \frac{-9n^2 + 12n - 4}{3n-2}$

4. Упростим полученное выражение. Вынесем знак минус из числителя:

$\frac{-(9n^2 - 12n + 4)}{3n-2}$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(3n-2)^2$.

$\frac{-(3n-2)^2}{3n-2} = -(3n-2) = 2-3n$

Ответ: $2-3n$