Номер 6.17, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.17, страница 45.

Условие.

6.17 $\left( \frac{z}{z - 2} - \frac{z^2}{z^3 + 8} \cdot \frac{z^2 + 2z}{z - 2} \right) : \frac{8}{z^2 - 2z + 4} + \frac{z^2 + z - 2}{2z + 4} = \frac{z - 2}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данного уравнения необходимо сначала найти Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $z$, а затем последовательно упростить левую часть уравнения.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

ОДЗ определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

• $z - 2 \neq 0 \implies z \neq 2$
• $z^3 + 8 \neq 0 \implies z^3 \neq -8 \implies z \neq -2$. Разложим на множители: $z^3 + 8 = (z+2)(z^2-2z+4)$. Отсюда $z+2 \neq 0$, то есть $z \neq -2$. Выражение $z^2-2z+4$ не равно нулю ни при каких действительных $z$, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$.
• $z^2 - 2z + 4 \neq 0$, как мы уже выяснили, это выражение всегда больше нуля.
• $2z + 4 \neq 0 \implies 2(z+2) \neq 0 \implies z \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $z \neq 2$ и $z \neq -2$.

2. Упрощение левой части уравнения по действиям

Выполним действия в левой части уравнения по порядку.

Действие 1. Упростим выражение в скобках.

Сначала выполним умножение дробей:

$\frac{z^2}{z^3+8} \cdot \frac{z^2+2z}{z-2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$z^3+8 = (z+2)(z^2-2z+4)$

$z^2+2z = z(z+2)$

Подставим и сократим:

$\frac{z^2}{(z+2)(z^2-2z+4)} \cdot \frac{z(z+2)}{z-2} = \frac{z^2 \cdot z}{(z^2-2z+4)(z-2)} = \frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)}$

Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{z}{z-2} - \frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)}$

Приведем к общему знаменателю $(z-2)(z^2-2z+4)$:

$\frac{z(z^2-2z+4) - z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{z^3-2z^2+4z-z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z^2+4z}{(z-2)(z^2-2z+4)}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{-2z(z-2)}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z}{z^2-2z+4}$

Действие 2. Выполним деление.

Результат из скобок разделим на дробь $\frac{8}{z^2-2z+4}$:

$\frac{-2z}{z^2-2z+4} \div \frac{8}{z^2-2z+4} = \frac{-2z}{z^2-2z+4} \cdot \frac{z^2-2z+4}{8} = \frac{-2z}{8} = -\frac{z}{4}$

Действие 3. Подставим упрощенное выражение в исходное уравнение.

После упрощения первых двух членов левой части уравнение принимает вид:

$-\frac{z}{4} + \frac{z^2+z-2}{2z+4} = \frac{z-2}{4}$

3. Решение полученного уравнения

Упростим второе слагаемое в левой части, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{z^2+z-2}{2z+4} = \frac{(z+2)(z-1)}{2(z+2)} = \frac{z-1}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$-\frac{z}{4} + \frac{z-1}{2} = \frac{z-2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot (-\frac{z}{4}) + 4 \cdot (\frac{z-1}{2}) = 4 \cdot (\frac{z-2}{4})$

$-z + 2(z-1) = z-2$

Раскроем скобки:

$-z + 2z - 2 = z-2$

$z - 2 = z - 2$

$0 = 0$

4. Вывод

Мы получили верное числовое равенство $0=0$, которое не зависит от переменной $z$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, то есть оно верно для всех значений переменной $z$, принадлежащих области допустимых значений (ОДЗ).

Как мы установили вначале, ОДЗ: $z \neq 2$ и $z \neq -2$.

Ответ: $z$ - любое действительное число, кроме $z = 2$ и $z = -2$. Это можно записать в виде $z \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.