Номер 6.24, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.24, страница 46.

Условие.

6.24 Докажите, что выражение

$\frac{12a - 4a^2}{2a + 3} + \frac{1}{2a - 3} : \left( \frac{4}{4a^2 - 9} - \frac{6a - 9}{8a^3 + 27} \right)$

при любых допустимых значениях переменной a принимает одно и то же значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, необходимо его упростить. Будем выполнять действия в соответствии с их порядком.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{4}{4a^2 - 9} - \frac{6a - 9}{8a^3 + 27}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a - 3)(2a + 3)$

$8a^3 + 27 = (2a)^3 + 3^3 = (2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)$

Теперь подставим разложенные знаменатели обратно в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)$:

$\frac{4}{(2a - 3)(2a + 3)} - \frac{6a - 9}{(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{4(4a^2 - 6a + 9) - (6a - 9)(2a - 3)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Раскроем скобки в числителе. Для этого сначала вынесем общий множитель в выражении $(6a - 9) = 3(2a - 3)$.

$\frac{4(4a^2 - 6a + 9) - 3(2a - 3)(2a - 3)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{16a^2 - 24a + 36 - 3(4a^2 - 12a + 9)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{16a^2 - 24a + 36 - 12a^2 + 36a - 27}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{(16a^2 - 12a^2) + (-24a + 36a) + (36 - 27)}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{4a^2 + 12a + 9}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Числитель $4a^2 + 12a + 9$ является полным квадратом $(2a + 3)^2$. Подставим его и сократим дробь:

$\frac{(2a + 3)^2}{(2a - 3)(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)} = \frac{2a + 3}{(2a - 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

2. Выполним деление: $\frac{1}{2a - 3} : \frac{2a + 3}{(2a - 3)(4a^2 - 6a + 9)}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{1}{2a - 3} \cdot \frac{(2a - 3)(4a^2 - 6a + 9)}{2a + 3}$

Сократим общий множитель $(2a - 3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4a^2 - 6a + 9}{2a + 3}$

3. Выполним сложение: $\frac{12a - 4a^2}{2a + 3} + \frac{4a^2 - 6a + 9}{2a + 3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$\frac{(12a - 4a^2) + (4a^2 - 6a + 9)}{2a + 3} = \frac{12a - 4a^2 + 4a^2 - 6a + 9}{2a + 3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6a + 9}{2a + 3}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$\frac{3(2a + 3)}{2a + 3}$

Сократим дробь на $(2a + 3)$:

$3$

Мы упростили исходное выражение и получили число 3. Это означает, что при любых допустимых значениях переменной a (то есть таких, при которых знаменатели не обращаются в ноль и делитель не равен нулю), значение выражения будет постоянным и равным 3, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате упрощения выражение равно 3, что является постоянным значением, не зависящим от переменной a.