Номер 7.2, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.2, страница 47.

Условие.

7.2 а) $ \frac{3x+1}{x+3} $

б) $ \frac{(x+3)(x-1)}{3x} $

в) $ \frac{6x-18}{x-2} $

г) $ \frac{(x+4)(x-5)}{x} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Заданная дробь $\frac{3x+1}{x+3}$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} 3x + 1 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы (области допустимых значений):
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Поскольку $-\frac{1}{3} \neq -3$, найденное значение $x$ является решением.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

б) Заданная дробь $\frac{(x+3)(x-1)}{3x}$.
Аналогично, найдём значения $x$, при которых дробь равна нулю. Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.
Система:
$ \begin{cases} (x+3)(x-1) = 0 \\ 3x \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x+3=0$ или $x-1=0$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Проверим условие для знаменателя: $3x \neq 0 \implies x \neq 0$. Оба корня ($-3$ и $1$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $x = -3; 1$.

в) Заданная дробь $\frac{6x-18}{x-2}$.
Найдём, при каких значениях $x$ дробь равна нулю. Составим и решим соответствующую систему:
$ \begin{cases} 6x - 18 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $
Решаем первое уравнение:
$6x = 18$
$x = \frac{18}{6} = 3$
Проверяем второе условие: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Поскольку $3 \neq 2$, найденный корень $x=3$ является решением.
Ответ: $x = 3$.

г) Заданная дробь $\frac{(x+4)(x-5)}{x}$.
Найдём, при каких значениях $x$ дробь равна нулю. Условия те же: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
Система:
$ \begin{cases} (x+4)(x-5) = 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $
Решаем первое уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю:
$x+4=0$ или $x-5=0$.
Отсюда получаем корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.
Проверяем условие для знаменателя: $x \neq 0$. Оба корня ($-4$ и $5$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $x = -4; 5$.