Номер 7.9, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.9, страница 47.

Условие.

7.9 a) $\frac{x^2 - 4x}{4x} = 0$;

б) $\frac{x^2 + 3x}{5x + 15} = 0$;

в) $\frac{x^2 + 5x}{5x} = 0$;

г) $\frac{x^2 - 7x}{3x - 21} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x^2 - 4x}{4x} = 0$

Дробное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 4x = 0 \\ 4x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.

2. Проверим выполнение условия для знаменателя $4x \neq 0$:

$x \neq 0$.

3. Сравниваем полученные корни с областью допустимых значений (ОДЗ). Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию.

Ответ: $4$.

б) $\frac{x^2 + 3x}{5x + 15} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 3x = 0 \\ 5x + 15 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 + 3x = 0$:

$x(x + 3) = 0$

$x_1 = 0$ или $x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$.

2. Проверим условие $5x + 15 \neq 0$:

$5x \neq -15$

$x \neq -3$.

3. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.

Ответ: $0$.

в) $\frac{x^2 + 5x}{5x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x = 0 \\ 5x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 + 5x = 0$:

$x(x + 5) = 0$

$x_1 = 0$ или $x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$.

2. Проверим условие $5x \neq 0$:

$x \neq 0$.

3. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он отбрасывается. Корень $x_2 = -5$ является решением.

Ответ: $-5$.

г) $\frac{x^2 - 7x}{3x - 21} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 7x = 0 \\ 3x - 21 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 - 7x = 0$:

$x(x - 7) = 0$

$x_1 = 0$ или $x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$.

2. Проверим условие $3x - 21 \neq 0$:

$3x \neq 21$

$x \neq 7$.

3. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.

Ответ: $0$.