Номер 7.10, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.10, страница 47.

Условие.

7.10 а) $\frac{x^2 - 25}{3x + 15} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 36}{x^2 + 6x} = 0;$

в) $\frac{x^2 - 49}{4x - 28} = 0;$

г) $\frac{x^2 - 64}{8x - x^2} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ 3x + 15 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 25 = 0$
$(x-5)(x+5) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Теперь решим второе неравенство (найдем область допустимых значений):
$3x + 15 \neq 0$
$3x \neq -15$
$x \neq -5$
Сравнивая корни первого уравнения с ограничением, мы видим, что корень $x = -5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, этот корень является посторонним.
Единственным решением является $x = 5$.
Ответ: 5

б) Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x^2 + 6x \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение (числитель равен нулю):
$x^2 - 36 = 0$
$(x-6)(x+6) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Решим второе неравенство (знаменатель не равен нулю):
$x^2 + 6x \neq 0$
$x(x+6) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.
Корень $x = -6$ не удовлетворяет условию, так как при нем знаменатель равен нулю. Исключаем его.
Остается единственный корень $x = 6$.
Ответ: 6

в) Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ 4x - 28 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 - 49 = 0$
$(x-7)(x+7) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Решим второе неравенство:
$4x - 28 \neq 0$
$4x \neq 28$
$x \neq 7$
Корень $x = 7$ является посторонним, так как он не входит в область допустимых значений.
Следовательно, решением является $x = -7$.
Ответ: -7

г) Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 64 = 0 \\ 8x - x^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$x^2 - 64 = 0$
$(x-8)(x+8) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Решим второе неравенство:
$8x - x^2 \neq 0$
$x(8-x) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $8-x \neq 0$, то есть $x \neq 8$.
Корень $x = 8$ не удовлетворяет условию, так как при нем знаменатель обращается в ноль.
Единственным решением является $x = -8$.
Ответ: -8