Номер 7.6, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.6, страница 47.

Условие.

7.6 a) $ \frac{4x - 1}{4x} = 0; $

б) $ \frac{(2x + 3)(x - 5)}{3x + 2} = 0; $

в) $ \frac{5x + 2}{5x} = 0; $

г) $ \frac{(2x - 1)(x + 3)}{2x + 1} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} 4x - 1 = 0 \\ 4x \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы (области допустимых значений):
$4x \neq 0$
$x \neq 0$
Поскольку $x = \frac{1}{4}$ не равно $0$, корень подходит.
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

б) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем систему:
$ \begin{cases} (2x + 3)(x - 5) = 0 \\ 3x + 2 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x + 3 = 0$ или $x - 5 = 0$
$2x = -3$ или $x = 5$
$x_1 = -\frac{3}{2} = -1.5$
$x_2 = 5$
Теперь решим неравенство для знаменателя, чтобы найти область допустимых значений:
$3x + 2 \neq 0$
$3x \neq -2$
$x \neq -\frac{2}{3}$
Сравним найденные корни с ограничением. Оба корня, $x_1 = -1.5$ и $x_2 = 5$, не равны $-\frac{2}{3}$, следовательно, оба являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1 = -1.5; x_2 = 5$.

в) Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Составим систему:
$ \begin{cases} 5x + 2 = 0 \\ 5x \neq 0 \end{cases} $
Решаем уравнение:
$5x + 2 = 0$
$5x = -2$
$x = -\frac{2}{5}$
Проверяем по условию для знаменателя:
$5x \neq 0$
$x \neq 0$
Корень $x = -\frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $x \neq 0$.
Ответ: $x = -\frac{2}{5}$.

г) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:
$ \begin{cases} (2x - 1)(x + 3) = 0 \\ 2x + 1 \neq 0 \end{cases} $
Решим уравнение из системы. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2x - 1 = 0$ или $x + 3 = 0$
$2x = 1$ или $x = -3$
$x_1 = \frac{1}{2}$
$x_2 = -3$
Теперь найдем область допустимых значений из условия, что знаменатель не равен нулю:
$2x + 1 \neq 0$
$2x \neq -1$
$x \neq -\frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни этому ограничению. $x_1 = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$ и $x_2 = -3 \neq -\frac{1}{2}$. Оба корня подходят.
Ответ: $x_1 = -3; x_2 = 0.5$.