Номер 7.11, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.11, страница 47.

Условие.

7.11 a) $\frac{t^4 - 81}{t^2 + 9} = 0;$

б) $\frac{a^3 - 4a}{a + 2} = 0;$

в) $\frac{y^4 - 16}{y^2 + 4} = 0;$

г) $\frac{9d - d^3}{d - 3} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} t^4 - 81 = 0 \\ t^2 + 9 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, разложив левую часть на множители как разность квадратов:

$t^4 - 81 = (t^2)^2 - 9^2 = (t^2 - 9)(t^2 + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $t^2 - 9 = 0 \implies t^2 = 9 \implies t_1 = 3, t_2 = -3$.

2) $t^2 + 9 = 0 \implies t^2 = -9$. В этом уравнении нет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Теперь проверим условие неравенства знаменателя нулю: $t^2 + 9 \neq 0$. Так как $t^2 \ge 0$ для любого действительного $t$, то $t^2 + 9 \ge 9$. Значит, знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $t_1 = 3, t_2 = -3$

б) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a^3 - 4a = 0 \\ a + 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a^2 - 4) = 0$

Разложим выражение в скобках как разность квадратов:

$a(a - 2)(a + 2) = 0$

Получаем три возможных корня:

$a_1 = 0$

$a_2 = 2$

$a_3 = -2$

Теперь учтем область допустимых значений (ОДЗ) из второго условия системы: $a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$.

Исключаем корень $a = -2$, так как он обращает знаменатель в ноль.

Ответ: $a_1 = 0, a_2 = 2$

в) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Составим систему:

$\begin{cases} y^4 - 16 = 0 \\ y^2 + 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, используя формулу разности квадратов:

$y^4 - 16 = (y^2)^2 - 4^2 = (y^2 - 4)(y^2 + 4) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y_1 = 2, y_2 = -2$.

2) $y^2 + 4 = 0 \implies y^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней.

Проверим знаменатель: $y^2 + 4 \neq 0$. Поскольку $y^2 \ge 0$, то $y^2 + 4$ всегда больше или равно 4, а значит, никогда не равно нулю.

Оба найденных корня подходят.

Ответ: $y_1 = 2, y_2 = -2$

г) Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 9d - d^3 = 0 \\ d - 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение. Вынесем $d$ за скобки:

$d(9 - d^2) = 0$

Разложим на множители разность квадратов в скобках:

$d(3 - d)(3 + d) = 0$

Отсюда находим возможные корни:

$d_1 = 0$

$d_2 = 3$

$d_3 = -3$

Проверим область допустимых значений из второго условия системы: $d - 3 \neq 0 \implies d \neq 3$.

Корень $d = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому мы его исключаем.

Ответ: $d_1 = 0, d_2 = -3$