Номер 7.18, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.18, страница 48.

Условие.

7.18 a) $\frac{x^2 - 8x}{x - 6} = \frac{4x - 36}{x - 6}$;

б) $\frac{4x - 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 2}$;

в) $\frac{x^2 + 16x}{x + 5} = \frac{6x - 25}{x + 5}$

г) $\frac{7x + 4}{x + 3} = \frac{3x - 8}{x + 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x^2 - 8x}{x - 6} = \frac{4x - 36}{x - 6}$

Данное уравнение является рациональным. Дроби равны, и у них одинаковые знаменатели. Это означает, что их числители также должны быть равны, при условии, что знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 6 \neq 0$
$x \neq 6$

2. Приравняем числители:
$x^2 - 8x = 4x - 36$

3. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 8x - 4x + 36 = 0$
$x^2 - 12x + 36 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что левая часть является полным квадратом (квадратом разности):
$(x - 6)^2 = 0$

5. Из этого следует, что:
$x - 6 = 0$
$x = 6$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли, что $x=6$, однако ОДЗ требует, чтобы $x \neq 6$. Поскольку единственный найденный корень не входит в область допустимых значений, у уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

б) $\frac{4x - 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 2}$

Уравнение имеет одинаковые знаменатели в обеих частях. Приравняем числители при условии, что знаменатель не равен нулю.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$

2. Приравняем числители:
$4x - 1 = x + 5$

3. Решим полученное линейное уравнение:
$4x - x = 5 + 1$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

4. Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $\frac{x^2 + 16x}{x + 5} = \frac{6x - 25}{x + 5}$

Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем их числители, предварительно определив область допустимых значений.

1. ОДЗ:
$x + 5 \neq 0$
$x \neq -5$

2. Приравняем числители:
$x^2 + 16x = 6x - 25$

3. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 16x - 6x + 25 = 0$
$x^2 + 10x + 25 = 0$

4. Левая часть уравнения является формулой квадрата суммы:
$(x + 5)^2 = 0$

5. Решим уравнение:
$x + 5 = 0$
$x = -5$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Корень $x = -5$ не входит в область допустимых значений ($x \neq -5$). Таким образом, у данного уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.

г) $\frac{7x + 4}{x + 3} = \frac{3x - 8}{x + 3}$

Дроби имеют одинаковые знаменатели, поэтому для решения уравнения достаточно приравнять числители, учитывая ОДЗ.

1. ОДЗ:
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$

2. Приравняем числители:
$7x + 4 = 3x - 8$

3. Решим линейное уравнение:
$7x - 3x = -8 - 4$
$4x = -12$
$x = \frac{-12}{4}$
$x = -3$

4. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Найденный корень $x = -3$ исключается областью допустимых значений ($x \neq -3$). Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: нет корней.