Номер 7.21, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях - номер 7.21, страница 49.

Условие.

7.21 a) $\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x-2} = 1$

б) $\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = 2$

в) $\frac{1}{x-3} + \frac{x}{x+3} = 1$

г) $\frac{3x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = 3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное уравнение: $\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x-2} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$.

$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x-2)$, при условии, что он не равен нулю (что мы учли в ОДЗ):

$3(x-2) + x(x+2) = (x+2)(x-2)$

Раскроем скобки и упростим:

$3x - 6 + x^2 + 2x = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x - 6 = x^2 - 4$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$x^2 - x^2 + 5x = -4 + 6$

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5}$

Полученный корень $x = \frac{2}{5}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{2}{5} \neq -2$ и $\frac{2}{5} \neq 2$.

Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = 2$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$ и умножим на него обе части уравнения:

$2x(x+1) + 3(x-1) = 2(x-1)(x+1)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 2x + 3x - 3 = 2(x^2-1)$

$2x^2 + 5x - 3 = 2x^2 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2x^2 + 5x = -2 + 3$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Корень $x = \frac{1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{5} \neq 1$ и $\frac{1}{5} \neq -1$.

Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{1}{x-3} + \frac{x}{x+3} = 1$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$ и умножим на него обе части уравнения:

$1(x+3) + x(x-3) = 1(x-3)(x+3)$

Раскроем скобки:

$x + 3 + x^2 - 3x = x^2 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 3 = x^2 - 9$

Перенесем члены уравнения:

$x^2 - x^2 - 2x = -9 - 3$

$-2x = -12$

$x = \frac{-12}{-2}$

$x = 6$

Корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $6 \neq 3$ и $6 \neq -3$.

Ответ: $x = 6$.

г)

Исходное уравнение: $\frac{3x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = 3$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$ и умножим на него обе части уравнения:

$3x(x+2) - 5(x-2) = 3(x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 6x - 5x + 10 = 3(x^2-4)$

$3x^2 + x + 10 = 3x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 3x^2 + x = -12 - 10$

$x = -22$

Корень $x = -22$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-22 \neq 2$ и $-22 \neq -2$.

Ответ: $x = -22$.