Номер 7.24, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.24, страница 49.

Условие.

7.24 Катер прошёл 12 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть собственная скорость катера равна $v$ км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(v + 4)$ км/ч, а скорость против течения — $(v - 4)$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v > 4$.

Время, которое катер затратил на путь по течению (12 км), равно $t_1 = \frac{12}{v + 4}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения (4 км), равно $t_2 = \frac{4}{v - 4}$ ч.

По условию задачи, общее время в пути составляет 2 часа. Составим и решим уравнение, зная, что общее время — это сумма времени по течению и против течения:
$t_1 + t_2 = 2$
$\frac{12}{v + 4} + \frac{4}{v - 4} = 2$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v + 4)(v - 4)$ и умножим обе части уравнения на него, при условии что $v \neq 4$ и $v \neq -4$:
$12(v - 4) + 4(v + 4) = 2(v + 4)(v - 4)$
Раскроем скобки:
$12v - 48 + 4v + 16 = 2(v^2 - 16)$
Приведем подобные слагаемые:
$16v - 32 = 2v^2 - 32$
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
$2v^2 - 16v = 0$
Вынесем общий множитель $2v$ за скобки:
$2v(v - 8) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $v_1 = 0$ и $v_2 = 8$.
Корень $v_1 = 0$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость катера не может быть нулевой, а также не выполняется условие $v > 4$.
Следовательно, единственно верным решением является $v_2 = 8$.

Проверим найденное значение:
Время по течению: $\frac{12}{8 + 4} = \frac{12}{12} = 1$ час.
Время против течения: $\frac{4}{8 - 4} = \frac{4}{4} = 1$ час.
Общее время: $1 + 1 = 2$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: собственная скорость катера равна 8 км/ч.