Номер 7.30, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.30, страница 50.

Условие.

7.30 а) $\frac{x^3 - 25x}{5x + 25} = 0;$

б) $\frac{y^4 - 256}{2y^2 + 8y} = 0;$

в) $\frac{36x - x^3}{6x - 36} = 0;$

г) $\frac{625 - y^4}{3y^2 - 15y} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x^3 - 25x}{5x + 25} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x^3 - 25x = 0, \\ 5x + 25 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим первое уравнение (числитель равен нулю):

$x^3 - 25x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 25) = 0$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 5$

$x_3 = -5$

2. Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю (область допустимых значений):

$5x + 25 \neq 0$

$5x \neq -25$

$x \neq -5$

3. Исключим из найденных корней те, которые не входят в область допустимых значений.

Корень $x_3 = -5$ не удовлетворяет условию $x \neq -5$, поэтому он является посторонним корнем.

Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $0; 5$.

б) $\frac{y^4 - 256}{2y^2 + 8y} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y^4 - 256 = 0, \\ 2y^2 + 8y \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:

$y^4 - 256 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(y^2 - 16)(y^2 + 16) = 0$

Еще раз применим формулу разности квадратов к первому множителю:

$(y - 4)(y + 4)(y^2 + 16) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$y - 4 = 0 \implies y_1 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_2 = -4$

Выражение $y^2 + 16$ всегда положительно ($y^2 \ge 0$, значит $y^2+16 > 0$), поэтому оно не может быть равно нулю в действительных числах.

2. Найдем область допустимых значений из условия, что знаменатель не равен нулю:

$2y^2 + 8y \neq 0$

$2y(y + 4) \neq 0$

Отсюда $2y \neq 0$ и $y+4 \neq 0$.

Следовательно, $y \neq 0$ и $y \neq -4$.

3. Сравним корни с ограничениями.

Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет условию $y \neq -4$, поэтому это посторонний корень.

Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $4$.

в) $\frac{36x - x^3}{6x - 36} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 36x - x^3 = 0, \\ 6x - 36 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:

$36x - x^3 = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(36 - x^2) = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$x(6 - x)(6 + x) = 0$

Получаем три возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 6$

$x_3 = -6$

2. Найдем область допустимых значений:

$6x - 36 \neq 0$

$6x \neq 36$

$x \neq 6$

3. Исключим посторонние корни.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию $x \neq 6$.

Корни $x_1 = 0$ и $x_3 = -6$ удовлетворяют условию.

Ответ: $-6; 0$.

г) $\frac{625 - y^4}{3y^2 - 15y} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 625 - y^4 = 0, \\ 3y^2 - 15y \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:

$625 - y^4 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(25 - y^2)(25 + y^2) = 0$

Еще раз применим формулу разности квадратов:

$(5 - y)(5 + y)(25 + y^2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$5 - y = 0 \implies y_1 = 5$

$5 + y = 0 \implies y_2 = -5$

Выражение $25 + y^2$ всегда положительно и в ноль не обращается.

2. Найдем область допустимых значений:

$3y^2 - 15y \neq 0$

$3y(y - 5) \neq 0$

Отсюда $3y \neq 0$ и $y - 5 \neq 0$.

Следовательно, $y \neq 0$ и $y \neq 5$.

3. Сравним корни с ограничениями.

Корень $y_1 = 5$ не удовлетворяет условию $y \neq 5$, это посторонний корень.

Корень $y_2 = -5$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $-5$.