Номер 7.36, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.36, страница 51.

Условие.

7.36 a) $ \frac{c-2}{2c+6} + \frac{c+3}{3c-6} = 0; $

б) $ \frac{y+2}{y^2-7y} - \frac{4}{(7-y)^2} = \frac{1}{y-7}; $

в) $ \frac{d+5}{5d-20} + \frac{d-4}{4d+20} = \frac{9}{20}; $

г) $ \frac{2a-2}{a^2-36} - \frac{a-2}{a^2-6a} - \frac{a-1}{a^2+6a} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{c - 2}{2c + 6} + \frac{c + 3}{3c - 6} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$2c + 6 \ne 0 \Rightarrow 2c \ne -6 \Rightarrow c \ne -3$

$3c - 6 \ne 0 \Rightarrow 3c \ne 6 \Rightarrow c \ne 2$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{c - 2}{2(c + 3)} + \frac{c + 3}{3(c - 2)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $6(c + 3)(c - 2)$:

$\frac{3(c - 2)(c - 2) + 2(c + 3)(c + 3)}{6(c + 3)(c - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:

$3(c - 2)^2 + 2(c + 3)^2 = 0$

$3(c^2 - 4c + 4) + 2(c^2 + 6c + 9) = 0$

$3c^2 - 12c + 12 + 2c^2 + 12c + 18 = 0$

$5c^2 + 30 = 0$

$5c^2 = -30$

$c^2 = -6$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{y + 2}{y^2 - 7y} - \frac{4}{(7 - y)^2} = \frac{1}{y - 7}$

Найдем ОДЗ:

$y^2 - 7y \ne 0 \Rightarrow y(y - 7) \ne 0 \Rightarrow y \ne 0$ и $y \ne 7$

$(7 - y)^2 \ne 0 \Rightarrow 7 - y \ne 0 \Rightarrow y \ne 7$

ОДЗ: $y \ne 0, y \ne 7$.

Преобразуем уравнение, учитывая, что $(7 - y)^2 = (y - 7)^2$:

$\frac{y + 2}{y(y - 7)} - \frac{4}{(y - 7)^2} = \frac{1}{y - 7}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $y(y - 7)^2$:

$\frac{(y + 2)(y - 7)}{y(y - 7)^2} - \frac{4y}{y(y - 7)^2} = \frac{y(y - 7)}{y(y - 7)^2}$

Приравняем числители:

$(y + 2)(y - 7) - 4y = y(y - 7)$

$y^2 - 7y + 2y - 14 - 4y = y^2 - 7y$

$y^2 - 9y - 14 = y^2 - 7y$

$-9y - 14 = -7y$

$-2y = 14$

$y = -7$

Корень $y = -7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -7.

в) $\frac{d + 5}{5d - 20} + \frac{d - 4}{4d + 20} = \frac{9}{20}$

Найдем ОДЗ:

$5d - 20 \ne 0 \Rightarrow 5d \ne 20 \Rightarrow d \ne 4$

$4d + 20 \ne 0 \Rightarrow 4d \ne -20 \Rightarrow d \ne -5$

ОДЗ: $d \ne 4, d \ne -5$.

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{d + 5}{5(d - 4)} + \frac{d - 4}{4(d + 5)} = \frac{9}{20}$

Общий знаменатель равен $20(d - 4)(d + 5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4(d + 5)(d + 5) + 5(d - 4)(d - 4) = 9(d - 4)(d + 5)$

$4(d + 5)^2 + 5(d - 4)^2 = 9(d^2 + 5d - 4d - 20)$

$4(d^2 + 10d + 25) + 5(d^2 - 8d + 16) = 9(d^2 + d - 20)$

$4d^2 + 40d + 100 + 5d^2 - 40d + 80 = 9d^2 + 9d - 180$

$9d^2 + 180 = 9d^2 + 9d - 180$

$180 = 9d - 180$

$360 = 9d$

$d = 40$

Корень $d = 40$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 40.

г) $\frac{2a - 2}{a^2 - 36} - \frac{a - 2}{a^2 - 6a} - \frac{a - 1}{a^2 + 6a} = 0$

Найдем ОДЗ:

$a^2 - 36 \ne 0 \Rightarrow (a - 6)(a + 6) \ne 0 \Rightarrow a \ne 6$ и $a \ne -6$

$a^2 - 6a \ne 0 \Rightarrow a(a - 6) \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$ и $a \ne 6$

$a^2 + 6a \ne 0 \Rightarrow a(a + 6) \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$ и $a \ne -6$

ОДЗ: $a \ne 0, a \ne 6, a \ne -6$.

Разложим знаменатели и числитель первой дроби на множители:

$\frac{2(a - 1)}{(a - 6)(a + 6)} - \frac{a - 2}{a(a - 6)} - \frac{a - 1}{a(a + 6)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a - 6)(a + 6)$:

$\frac{2a(a - 1) - (a + 6)(a - 2) - (a - 6)(a - 1)}{a(a - 6)(a + 6)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2a(a - 1) - (a^2 - 2a + 6a - 12) - (a^2 - a - 6a + 6) = 0$

$2a^2 - 2a - (a^2 + 4a - 12) - (a^2 - 7a + 6) = 0$

$2a^2 - 2a - a^2 - 4a + 12 - a^2 + 7a - 6 = 0$

$(2a^2 - a^2 - a^2) + (-2a - 4a + 7a) + (12 - 6) = 0$

$0a^2 + a + 6 = 0$

$a + 6 = 0$

$a = -6$

Полученный корень $a = -6$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.