Номер 7.34, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.34, страница 50.

Условие.

7.34 a) $ \frac{x^2 + 3x}{2(x - 3)} + \frac{x + 12}{6} = \frac{3x}{x - 3}; $

б) $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x + 2)} = \frac{1 + 2x}{x + 2}; $

в) $ \frac{x^2 - x}{3(x + 2)} + \frac{x}{x + 2} = \frac{x + 6}{12}; $

г) $ \frac{1}{x} - \frac{5}{x(5 - x)} = \frac{x - 7}{5 - x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Решим уравнение $ \frac{x^2+3x}{2(x-3)} + \frac{x+12}{6} = \frac{3x}{x-3} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 $, откуда $ x \neq 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ 6(x-3) $. Для этого умножим обе части уравнения на него:

$ 6(x-3) \cdot \frac{x^2+3x}{2(x-3)} + 6(x-3) \cdot \frac{x+12}{6} = 6(x-3) \cdot \frac{3x}{x-3} $

После сокращения дробей получим:

$ 3(x^2+3x) + (x-3)(x+12) = 6(3x) $

Раскроем скобки:

$ 3x^2 + 9x + x^2 + 12x - 3x - 36 = 18x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x^2 + 18x - 36 = 18x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4x^2 + 18x - 18x - 36 = 0 $

$ 4x^2 - 36 = 0 $

Разделим уравнение на 4:

$ x^2 - 9 = 0 $

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$ (x-3)(x+3) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -3 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \neq 3 $). Корень $ x_1 = 3 $ является посторонним. Единственным решением является $ x = -3 $.

Ответ: -3

б)

Решим уравнение $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x+2)} = \frac{1+2x}{x+2} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

Общий знаменатель дробей — $ x(x+2) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ x(x+2) \cdot \frac{3}{x} - x(x+2) \cdot \frac{6}{x(x+2)} = x(x+2) \cdot \frac{1+2x}{x+2} $

После сокращения:

$ 3(x+2) - 6 = x(1+2x) $

Раскроем скобки:

$ 3x + 6 - 6 = x + 2x^2 $

$ 3x = x + 2x^2 $

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 2x^2 + x - 3x = 0 $

$ 2x^2 - 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2x $ за скобки:

$ 2x(x-1) = 0 $

Получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 1 $.

Согласно ОДЗ, $ x \neq 0 $. Значит, корень $ x_1 = 0 $ — посторонний. Остается решение $ x = 1 $.

Ответ: 1

в)

Решим уравнение $ \frac{x^2-x}{3(x+2)} + \frac{x}{x+2} = \frac{x+6}{12} $.

ОДЗ: $ x+2 \neq 0 $, то есть $ x \neq -2 $.

Общий знаменатель — $ 12(x+2) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ 12(x+2) \cdot \frac{x^2-x}{3(x+2)} + 12(x+2) \cdot \frac{x}{x+2} = 12(x+2) \cdot \frac{x+6}{12} $

После сокращения:

$ 4(x^2-x) + 12x = (x+2)(x+6) $

Раскроем скобки:

$ 4x^2 - 4x + 12x = x^2 + 6x + 2x + 12 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x^2 + 8x = x^2 + 8x + 12 $

Перенесем все члены с $x$ и константы в левую часть:

$ 4x^2 - x^2 + 8x - 8x - 12 = 0 $

$ 3x^2 - 12 = 0 $

Разделим на 3:

$ x^2 - 4 = 0 $

$ (x-2)(x+2) = 0 $

Получаем два корня: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -2 $.

Проверим по ОДЗ ($ x \neq -2 $). Корень $ x_2 = -2 $ является посторонним. Решением является $ x = 2 $.

Ответ: 2

г)

Решим уравнение $ \frac{1}{x} - \frac{5}{x(5-x)} = \frac{x-7}{5-x} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ 5-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 0 $ и $ x \neq 5 $.

Общий знаменатель — $ x(5-x) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ x(5-x) \cdot \frac{1}{x} - x(5-x) \cdot \frac{5}{x(5-x)} = x(5-x) \cdot \frac{x-7}{5-x} $

После сокращения получаем:

$ 1(5-x) - 5 = x(x-7) $

Раскроем скобки:

$ 5 - x - 5 = x^2 - 7x $

$ -x = x^2 - 7x $

Перенесем все в правую часть:

$ x^2 - 7x + x = 0 $

$ x^2 - 6x = 0 $

Вынесем $ x $ за скобки:

$ x(x-6) = 0 $

Возможные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 6 $.

Согласно ОДЗ ($ x \neq 0 $), корень $ x_1 = 0 $ является посторонним. Следовательно, решением является $ x = 6 $.

Ответ: 6