Номер 7.32, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.32, страница 50.

Условие.

7.32 a) $\frac{3x}{x-1} + \frac{x+3}{x+1} = 3;$

б) $\frac{a-1}{4a-5} = \left(\frac{2a-1}{4a-5}\right)^2;$

в) $\frac{2x}{x+3} + \frac{x-6}{x-3} = 2;$

г) $\left(\frac{b-1}{b+3}\right)^2 = \frac{b+1}{b+3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{3x}{x-1} + \frac{x+3}{x+1} = 3 $
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Для этого домножим первую дробь на $(x+1)$, вторую на $(x-1)$, а число 3 представим как дробь со знаменателем $(x-1)(x+1)$.
$ \frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} $
3. Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 3x(x+1) + (x+3)(x-1) = 3(x-1)(x+1) $
4. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$ (3x^2 + 3x) + (x^2 - x + 3x - 3) = 3(x^2 - 1) $
5. Упростим выражение в левой части:
$ 3x^2 + 3x + x^2 + 2x - 3 = 3x^2 - 3 $
$ 4x^2 + 5x - 3 = 3x^2 - 3 $
6. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$ 4x^2 - 3x^2 + 5x - 3 + 3 = 0 $
$ x^2 + 5x = 0 $
7. Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$ x(x+5) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$ x_1 = 0 $ или $ x+5 = 0 \implies x_2 = -5 $
8. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ($0$ и $-5$) не равны $1$ и $-1$, следовательно, они являются решениями уравнения.
Ответ: $0; -5$.

б) $ \frac{a-1}{4a-5} = \left(\frac{2a-1}{4a-5}\right)^2 $
1. ОДЗ: знаменатель $4a-5 \neq 0$, следовательно, $a \neq \frac{5}{4}$.
2. Раскроем квадрат в правой части уравнения:
$ \frac{a-1}{4a-5} = \frac{(2a-1)^2}{(4a-5)^2} $
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$ \frac{a-1}{4a-5} - \frac{(2a-1)^2}{(4a-5)^2} = 0 $
4. Приведем дроби к общему знаменателю $(4a-5)^2$:
$ \frac{(a-1)(4a-5)}{(4a-5)^2} - \frac{(2a-1)^2}{(4a-5)^2} = 0 $
5. Запишем числитель как одно выражение:
$ \frac{(a-1)(4a-5) - (2a-1)^2}{(4a-5)^2} = 0 $
6. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен (что учтено в ОДЗ).
$ (a-1)(4a-5) - (2a-1)^2 = 0 $
7. Раскроем скобки. Для $(2a-1)^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$ (4a^2 - 5a - 4a + 5) - (4a^2 - 4a + 1) = 0 $
$ 4a^2 - 9a + 5 - 4a^2 + 4a - 1 = 0 $
8. Приведем подобные слагаемые:
$ (4a^2 - 4a^2) + (-9a + 4a) + (5 - 1) = 0 $
$ -5a + 4 = 0 $
9. Решим линейное уравнение:
$ 5a = 4 $
$ a = \frac{4}{5} $
10. Найденный корень $a = \frac{4}{5}$ не равен $\frac{5}{4}$, поэтому он удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) $ \frac{2x}{x+3} + \frac{x-6}{x-3} = 2 $
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.
2. Общий знаменатель: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на него:
$ 2x(x-3) + (x-6)(x+3) = 2(x+3)(x-3) $
3. Раскроем скобки:
$ (2x^2 - 6x) + (x^2 + 3x - 6x - 18) = 2(x^2 - 9) $
4. Упростим обе части уравнения:
$ 2x^2 - 6x + x^2 - 3x - 18 = 2x^2 - 18 $
$ 3x^2 - 9x - 18 = 2x^2 - 18 $
5. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ 3x^2 - 2x^2 - 9x - 18 + 18 = 0 $
$ x^2 - 9x = 0 $
6. Решим неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$ x(x-9) = 0 $
Отсюда $x_1 = 0$ или $x-9=0 \implies x_2 = 9$.
7. Оба корня ($0$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).
Ответ: $0; 9$.

г) $ \left(\frac{b-1}{b+3}\right)^2 = \frac{b+1}{b+3} $
1. ОДЗ: $b+3 \neq 0$, следовательно, $b \neq -3$.
2. Запишем уравнение в виде дробей:
$ \frac{(b-1)^2}{(b+3)^2} = \frac{b+1}{b+3} $
3. Перенесем дробь из правой части влево и приведем к общему знаменателю $(b+3)^2$:
$ \frac{(b-1)^2}{(b+3)^2} - \frac{(b+1)(b+3)}{(b+3)^2} = 0 $
4. Так как знаменатель не равен нулю (по ОДЗ), приравняем числитель к нулю:
$ (b-1)^2 - (b+1)(b+3) = 0 $
5. Раскроем скобки. Для $(b-1)^2$ используем формулу квадрата разности.
$ (b^2 - 2b + 1) - (b^2 + 3b + b + 3) = 0 $
$ b^2 - 2b + 1 - (b^2 + 4b + 3) = 0 $
6. Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$ b^2 - 2b + 1 - b^2 - 4b - 3 = 0 $
7. Приведем подобные слагаемые:
$ (b^2 - b^2) + (-2b - 4b) + (1 - 3) = 0 $
$ -6b - 2 = 0 $
8. Решим полученное линейное уравнение:
$ -6b = 2 $
$ b = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $
9. Корень $b = -\frac{1}{3}$ не равен $-3$, значит, он удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.