Номер 7.25, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.25, страница 49.

Условие.

7.25 Лодка проплыла 18 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Это искомая величина.

Согласно условию, скорость течения реки равна 3 км/ч. Тогда:

• Скорость лодки по течению реки составляет $v_{по} = (x + 3)$ км/ч.
• Скорость лодки против течения реки составляет $v_{пр} = (x - 3)$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

Лодка прошла 18 км по течению. Время, затраченное на этот путь: $t_{по} = \frac{18}{x + 3}$ ч.

Лодка прошла 6 км против течения. Время, затраченное на этот путь: $t_{пр} = \frac{6}{x - 3}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 4 часа. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_{по} + t_{пр} = 4$

$\frac{18}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} = 4$

Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$. Это область допустимых значений для $x$.

Решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3)$:

$\frac{18(x - 3) + 6(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 4$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{18x - 54 + 6x + 18}{x^2 - 9} = 4$

$\frac{24x - 36}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 9)$, который не равен нулю при $x > 3$:

$24x - 36 = 4(x^2 - 9)$

$24x - 36 = 4x^2 - 36$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 24x - 36 + 36 = 0$

$4x^2 - 24x = 0$

Разделим обе части на 4:

$x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Корень $x_1 = 0$ не является решением задачи, так как скорость лодки не может быть нулевой, и он не удовлетворяет условию $x > 3$.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x > 3$, значит, это и есть искомая скорость.

Проверим найденное решение. Если собственная скорость лодки 6 км/ч:

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{18}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$ часа.
• Время движения против течения: $t_{пр} = \frac{6}{6 - 3} = \frac{6}{3} = 2$ часа.
• Общее время: $2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 4$ часа.

Полученное общее время совпадает с данными в условии задачи.

Ответ: собственная скорость лодки равна 6 км/ч.