Номер 7.31, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.31, страница 50.

Условие.

7.31 a) $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3};$

б) $\frac{c - 2}{c + 3} = \frac{c + 3}{c - 2};$

в) $\frac{x^2 - 5x}{x - 1} = \frac{7x}{9};$

г) $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано рациональное уравнение: $ \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $ x + 2 \neq 0 $, что означает $ x \neq -2 $.

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$ 3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$ 3x^2 - 2x^2 + 12x - 4x = 0 $

$ x^2 + 8x = 0 $

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $ x $ за скобки:

$ x(x + 8) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = 0 $

$ x + 8 = 0 \implies x_2 = -8 $

Оба найденных корня ($0$ и $-8$) удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq -2 $).

Ответ: $0; -8$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{c - 2}{c + 3} = \frac{c + 3}{c - 2} $.

ОДЗ: знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно, $ c + 3 \neq 0 $ и $ c - 2 \neq 0 $. Отсюда $ c \neq -3 $ и $ c \neq 2 $.

Применим основное свойство пропорции:

$ (c - 2)(c - 2) = (c + 3)(c + 3) $

$ (c - 2)^2 = (c + 3)^2 $

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

$ c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 $

$ c^2 - 4c + 4 = c^2 + 6c + 9 $

Перенесем все члены с переменной $c$ в левую часть, а числовые члены — в правую:

$ c^2 - c^2 - 4c - 6c = 9 - 4 $

$ -10c = 5 $

Найдем $c$:

$ c = \frac{5}{-10} = -0.5 $

Полученный корень $ c = -0.5 $ не противоречит ОДЗ.

Ответ: $-0.5$.

в)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 5x}{x - 1} = \frac{7x}{9} $.

ОДЗ: $ x - 1 \neq 0 $, откуда $ x \neq 1 $.

Используем перекрестное умножение:

$ 9(x^2 - 5x) = 7x(x - 1) $

Раскроем скобки:

$ 9x^2 - 45x = 7x^2 - 7x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ 9x^2 - 7x^2 - 45x + 7x = 0 $

$ 2x^2 - 38x = 0 $

Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$ 2x(x - 19) = 0 $

Приравняем каждый множитель к нулю:

$ 2x = 0 \implies x_1 = 0 $

$ x - 19 = 0 \implies x_2 = 19 $

Оба корня ($0$ и $19$) удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq 1 $).

Ответ: $0; 19$.

г)

Дано уравнение: $ \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4} $.

ОДЗ: $ x + 2 \neq 0 $ и $ x - 4 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $ и $ x \neq 4 $.

Воспользуемся свойством пропорции:

$ (x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2) $

Раскроем скобки в обеих частях:

$ x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$ x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6 $

Перенесем члены с $x$ влево, а числа вправо. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются.

$ -6x - 5x = 6 - 8 $

$ -11x = -2 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} $

Корень $ x = \frac{2}{11} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{11}$.