Номер 7.33, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.33, страница 50.

Условие.

7.33 a) $ \frac{3}{x-4} - \frac{25}{x^2-16} = \frac{x+1}{x+4}; $

б) $ \frac{19}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}; $

в) $ \frac{1}{x-5} - \frac{26}{x^2-25} = \frac{x+4}{x+5}; $

г) $ \frac{14}{(x-3)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x}{x-3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $\frac{3}{x-4} - \frac{25}{x^2-16} = \frac{x+1}{x+4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \neq 0 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-4)(x+4)$:

$\frac{3(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{25}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x+1)(x-4)}{(x+4)(x-4)}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$3(x+4) - 25 = (x+1)(x-4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x + 12 - 25 = x^2 - 4x + x - 4$

$3x - 13 = x^2 - 3x - 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 3x - 3x - 4 + 13$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-3)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-3 = 0 \implies x = 3$

Корень $x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 \neq \pm 4$.

Ответ: $3$

б)

Дано уравнение: $\frac{19}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Итак, ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x-5)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$19 + x(x-5) = 3(x+1)$

Раскроем скобки и упростим:

$19 + x^2 - 5x = 3x + 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 5x - 3x + 19 - 3 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-4)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-4 = 0 \implies x = 4$

Корень $x=4$ входит в ОДЗ, так как $4 \neq 5$ и $4 \neq -1$.

Ответ: $4$

в)

Дано уравнение: $\frac{1}{x-5} - \frac{26}{x^2-25} = \frac{x+4}{x+5}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{1(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{26}{(x-5)(x+5)} = \frac{(x+4)(x-5)}{(x+5)(x-5)}$

Приравняем числители:

$x+5 - 26 = (x+4)(x-5)$

Раскроем скобки и упростим:

$x - 21 = x^2 - 5x + 4x - 20$

$x - 21 = x^2 - x - 20$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 - x - x - 20 + 21$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-1)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-1 = 0 \implies x = 1$

Корень $x=1$ входит в ОДЗ, так как $1 \neq \pm 5$.

Ответ: $1$

г)

Дано уравнение: $\frac{14}{(x-3)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x}{x-3}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Итак, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x-3)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$14 + 6(x-3) = x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$14 + 6x - 18 = x^2 + 2x$

$6x - 4 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 2x - 6x + 4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-2 = 0 \implies x = 2$

Корень $x=2$ входит в ОДЗ, так как $2 \neq 3$ и $2 \neq -2$.

Ответ: $2$