Номер 7.29, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.29, страница 50.

Условие.

7.29 a) $\frac{3x^2 + 1}{2x} = x + 1;$

б) $\frac{2x^2 - 5}{x + 1} = x - 1;$

в) $\frac{5x^2 - 36}{6x} = x - 2;$

г) $\frac{2x^2 - 13}{x - 2} = x + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{3x^2+1}{2x}=x+1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $2x \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $2x$, чтобы избавиться от дроби. Это можно делать, так как мы уже учли, что $x \neq 0$.

$3x^2 + 1 = 2x(x+1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3x^2 + 1 = 2x^2 + 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x-1)^2 = 0$

Из этого следует, что $x-1 = 0$, откуда получаем единственный корень:

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие было $x \neq 0$. Так как $1 \neq 0$, корень является решением уравнения.

Ответ: $1$

б) $\frac{2x^2-5}{x+1}=x-1$

ОДЗ: знаменатель $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на $(x+1)$:

$2x^2 - 5 = (x-1)(x+1)$

Правая часть уравнения представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$2x^2 - 5 = x^2 - 1^2$

$2x^2 - 5 = x^2 - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 5 + 1 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня: $x_1 = \sqrt{4} = 2$ и $x_2 = -\sqrt{4} = -2$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$). Оба корня, $2$ и $-2$, не равны $-1$, следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $-2; 2$

в) $\frac{5x^2-36}{6x}=x-2$

ОДЗ: знаменатель $6x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $6x$:

$5x^2 - 36 = 6x(x-2)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2 - 36 = 6x^2 - 12x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 6x^2 - 5x^2 - 12x + 36$

$x^2 - 12x + 36 = 0$

Левая часть является полным квадратом $(x-6)^2$.

$(x-6)^2 = 0$

Отсюда $x-6=0$, и мы находим корень:

$x = 6$

Проверим корень по ОДЗ ($x \neq 0$). Так как $6 \neq 0$, решение верное.

Ответ: $6$

г) $\frac{2x^2-13}{x-2}=x+2$

ОДЗ: знаменатель $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:

$2x^2 - 13 = (x+2)(x-2)$

Используем формулу разности квадратов для правой части:

$2x^2 - 13 = x^2 - 2^2$

$2x^2 - 13 = x^2 - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 13 + 4 = 0$

$x^2 - 9 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 9$

Находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$). Оба корня, $3$ и $-3$, не равны $2$, значит, оба являются решениями.

Ответ: $-3; 3$