Номер 7.28, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.28, страница 50.

Условие.

Решите уравнение:

7.28 а) $ \frac{2x^2 - 1}{x} = x; $

б) $ \frac{3x^2 + 2}{x+1} = 3x; $

в) $ \frac{3x^2 - 4}{x} = 2x; $

г) $ \frac{5x^2 - 3}{x-2} = 5x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{2x^2 - 1}{x} = x$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя, при условии, что $x \neq 0$:

$2x^2 - 1 = x \cdot x$

$2x^2 - 1 = x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 1 = 0$

$x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Оба корня, $1$ и $-1$, удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $\frac{3x^2 + 2}{x + 1} = 3x$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на $(x + 1)$, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 2 = 3x(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$3x^2 + 2 = 3x^2 + 3x$

Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:

$2 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{2}{3}$

Полученный корень $x = \frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

в) $\frac{3x^2 - 4}{x} = 2x$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$3x^2 - 4 = 2x \cdot x$

$3x^2 - 4 = 2x^2$

Перенесем все члены с переменной в левую часть, а числовые — в правую:

$3x^2 - 2x^2 = 4$

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Оба корня, $2$ и $-2$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = -2, x = 2$.

г) $\frac{5x^2 - 3}{x - 2} = 5x$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на $(x - 2)$:

$5x^2 - 3 = 5x(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2 - 3 = 5x^2 - 10x$

Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:

$-3 = -10x$

Разделим обе части на $-10$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10}$

Полученный корень $x = \frac{3}{10}$ (или $0.3$) удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $x = \frac{3}{10}$.