Номер 7.35, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.35, страница 50.

Условие.

7.35 a) $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

б) $\frac{3x+27}{3x-x^2} + \frac{3}{x} - \frac{4x}{3-x} = 0$

в) $\frac{x}{x-3} - \frac{6}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$

г) $\frac{5x}{x-2} + \frac{2}{x} - \frac{16+2x}{x^2-2x} = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

Знаменатель в правой части $x^2-4$ можно разложить по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Условия для него те же: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}$

Теперь мы можем отбросить знаменатели, так как мы учли их в ОДЗ. Получаем уравнение:

$x(x+2) - 4(x-2) = 8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 + 2x - 4x + 8 = 8$

$x^2 - 2x = 8 - 8$

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=2$.

Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Корень $x=0$ удовлетворяет условиям ОДЗ.

Корень $x=2$ не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $0$.

б) $\frac{3x+27}{3x-x^2} + \frac{3}{x} - \frac{4x}{3-x} = 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$3x-x^2 = x(3-x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 3$.

$x \neq 0$.

$3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(3-x)$. Для этого домножим вторую дробь на $(3-x)$, а третью на $x$.

$\frac{3x+27}{x(3-x)} + \frac{3(3-x)}{x(3-x)} - \frac{4x \cdot x}{x(3-x)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(3x+27) + 3(3-x) - 4x^2}{x(3-x)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$3x+27 + 9 - 3x - 4x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$36 - 4x^2 = 0$

$4x^2 = 36$

$x^2 = 9$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).

Корень $x=3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$.

в) $\frac{x}{x-3} - \frac{6}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Знаменатель $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, поэтому условия те же.

ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$x(x+3) - 6(x-3) = 18$

Раскроем скобки:

$x^2 + 3x - 6x + 18 = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x = 18 - 18$

$x^2 - 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$

Возможные корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

г) $\frac{5x}{x-2} + \frac{2}{x} - \frac{16+2x}{x^2-2x} = 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x \neq 0$

Знаменатель $x^2-2x = x(x-2)$, поэтому условия те же.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{5x \cdot x}{x(x-2)} + \frac{2(x-2)}{x(x-2)} - \frac{16+2x}{x(x-2)} = 0$

Запишем числители под одной дробной чертой:

$\frac{5x^2 + 2(x-2) - (16+2x)}{x(x-2)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$5x^2 + 2x - 4 - 16 - 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 20 = 0$

$5x^2 = 20$

$x^2 = 4$

Возможные корни: $x_1=2$ и $x_2=-2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 2$).

Корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.