Номер 7.38, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.38, страница 51.

Условие.

7.38 a) Существует ли такое значение d, при котором разность дробей $\frac{12d - 7}{10d + 1}$ и $\frac{d - 3}{5d + 1}$ равна 1?

б) Существует ли такое значение b, при котором разность дробей $\frac{18b + 2}{b - 4}$ и $\frac{15b + 1}{b + 5}$ равна 3?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы выяснить, существует ли такое значение $d$, при котором разность дробей равна 1, составим и решим уравнение:

$\frac{12d-7}{10d+1} - \frac{d-3}{5d+1} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль:

$10d+1 \neq 0 \implies 10d \neq -1 \implies d \neq -0,1$

$5d+1 \neq 0 \implies 5d \neq -1 \implies d \neq -0,2$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(10d+1)(5d+1)$:

$\frac{(12d-7)(5d+1)}{(10d+1)(5d+1)} - \frac{(d-3)(10d+1)}{(10d+1)(5d+1)} = 1$

$\frac{(12d-7)(5d+1) - (d-3)(10d+1)}{(10d+1)(5d+1)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(10d+1)(5d+1)$, так как в области допустимых значений он не равен нулю:

$(12d-7)(5d+1) - (d-3)(10d+1) = (10d+1)(5d+1)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(60d^2 + 12d - 35d - 7) - (10d^2 + d - 30d - 3) = 50d^2 + 10d + 5d + 1$

Упростим выражения в скобках:

$(60d^2 - 23d - 7) - (10d^2 - 29d - 3) = 50d^2 + 15d + 1$

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$60d^2 - 23d - 7 - 10d^2 + 29d + 3 = 50d^2 + 15d + 1$

$50d^2 + 6d - 4 = 50d^2 + 15d + 1$

Теперь решим получившееся линейное уравнение:

$6d - 4 = 15d + 1$

$6d - 15d = 1 + 4$

$-9d = 5$

$d = -\frac{5}{9}$

Полученное значение $d = -\frac{5}{9}$ не совпадает ни с одним из ограничений ОДЗ ($d \neq -0,1$ и $d \neq -0,2$). Следовательно, такое значение $d$ существует.

Ответ: да, существует, $d = -\frac{5}{9}$.

б) Чтобы выяснить, существует ли такое значение $b$, при котором разность дробей равна 3, составим и решим уравнение:

$\frac{18b+2}{b-4} - \frac{15b+1}{b+5} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$b-4 \neq 0 \implies b \neq 4$

$b+5 \neq 0 \implies b \neq -5$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-4)(b+5)$ и умножим обе части уравнения на него (на ОДЗ он не равен нулю):

$(18b+2)(b+5) - (15b+1)(b-4) = 3(b-4)(b+5)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(18b^2 + 90b + 2b + 10) - (15b^2 - 60b + b - 4) = 3(b^2 + 5b - 4b - 20)$

Упростим выражения в скобках:

$(18b^2 + 92b + 10) - (15b^2 - 59b - 4) = 3(b^2 + b - 20)$

Раскроем оставшиеся скобки:

$18b^2 + 92b + 10 - 15b^2 + 59b + 4 = 3b^2 + 3b - 60$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3b^2 + 151b + 14 = 3b^2 + 3b - 60$

Упростим уравнение, вычитая $3b^2$ из обеих частей:

$151b + 14 = 3b - 60$

Решим полученное линейное уравнение:

$151b - 3b = -60 - 14$

$148b = -74$

$b = -\frac{74}{148} = -\frac{1}{2}$

Найденное значение $b = -\frac{1}{2}$ (или $-0,5$) не противоречит ОДЗ ($b \neq 4$ и $b \neq -5$). Следовательно, такое значение $b$ существует.

Ответ: да, существует, $b = -\frac{1}{2}$.