Номер 7.22, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.22, страница 49.

Условие.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

7.22

Расстояние между городами А и В 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 2 ч 30 мин вслед за ним выехал мотоциклист. Двигаясь со скоростью в 2,5 раза большей, чем у велосипедиста, мотоциклист прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1. Составление математической модели

Первый этап решения задачи — это перевод её условий с обычного языка на язык математики. Для этого введем переменные и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста. Поскольку скорость мотоциклиста в 2,5 раза больше, она составляет $2,5x$ км/ч.

Расстояние между городами A и B равно 50 км. Время, которое потратил на этот путь велосипедист, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно $t_в = \frac{50}{x}$ часов. Время, которое потратил мотоциклист, равно $t_м = \frac{50}{2,5x}$ часов.

Из условия известно, что мотоциклист выехал на 2 ч 30 мин позже велосипедиста и прибыл в пункт B одновременно с ним. Это означает, что время в пути у велосипедиста было на 2 ч 30 мин больше, чем у мотоциклиста. Переведем разницу во времени в часы: $2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 2,5$ часа.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени движения велосипедиста и мотоциклиста к 2,5 часам:

$t_в - t_м = 2,5$

Подставим в это уравнение выражения для времени через $x$:

$\frac{50}{x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$

Это уравнение является математической моделью данной задачи. Также необходимо учесть, что скорость не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому область допустимых значений для $x$ — это $x > 0$.

Ответ: Математическая модель задачи: $\frac{50}{x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$, где $x > 0$.

2. Работа с математической моделью

Второй этап — решение составленного уравнения.

Решим уравнение: $\frac{50}{x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$.

Для начала упростим левую часть, приведя дроби к общему знаменателю $2,5x$:

$\frac{50 \cdot 2,5}{2,5x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$

$\frac{125 - 50}{2,5x} = 2,5$

$\frac{75}{2,5x} = 2,5$

Теперь решим получившееся уравнение. Можно рассматривать его как пропорцию или умножить обе части на знаменатель $2,5x$ (это допустимо, так как мы установили, что $x > 0$):

$75 = 2,5 \cdot 2,5x$

$75 = 6,25x$

Найдем $x$:

$x = \frac{75}{6,25}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{7500}{625} = 12$

Найденное значение $x = 12$ удовлетворяет условию $x > 0$, значит, является решением.

Ответ: Корень уравнения $x = 12$.

3. Ответ на вопрос задачи

Третий этап — это интерпретация полученного математического результата в контексте исходной задачи.

Мы нашли, что $x=12$. Согласно нашим обозначениям, $x$ — это скорость велосипедиста. Таким образом, скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.

Скорость мотоциклиста равна $2,5x$. Подставим найденное значение $x$:

$v_м = 2,5 \cdot 12 = 30$ км/ч.

Таким образом, мы нашли обе искомые скорости. Проведем проверку:

• Время движения велосипедиста: $t_в = \frac{50 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{25}{6}$ ч.
• Время движения мотоциклиста: $t_м = \frac{50 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3}$ ч.
• Разница во времени: $t_в - t_м = \frac{25}{6} - \frac{5}{3} = \frac{25}{6} - \frac{10}{6} = \frac{15}{6} = 2,5$ часа.

Результат проверки совпадает с условием задачи (2 ч 30 мин = 2,5 ч).

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 30 км/ч.