Номер 7.17, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.17, страница 48.

Условие.

7.17 a) $\frac{x^2 - 1}{x - 3} = \frac{3x - 1}{x - 3}$;

б) $\frac{x^2 - 15}{x + 5} = \frac{10}{x + 5}$;

в) $\frac{x^2 + 3}{x} = \frac{2x + 3}{x}$;

г) $\frac{16 + 3x^2}{x - 4} = \frac{4x^2}{x - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{x^2 - 1}{x - 3} = \frac{3x - 1}{x - 3} $
Данное уравнение является рациональным. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$ x - 3 \neq 0 $
$ x \neq 3 $
Поскольку знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:
$ x^2 - 1 = 3x - 1 $
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$ x^2 - 3x - 1 + 1 = 0 $
$ x^2 - 3x = 0 $
Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$ x(x - 3) = 0 $
Это уравнение имеет два корня:
$ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 3 $
Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq 3 $).
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию ОДЗ.
Корень $ x_2 = 3 $ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = 3 $ является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 0

б) $ \frac{x^2 - 15}{x + 5} = \frac{10}{x + 5} $
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ x + 5 \neq 0 $
$ x \neq -5 $
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$ x^2 - 15 = 10 $
Переносим постоянные в правую часть:
$ x^2 = 10 + 15 $
$ x^2 = 25 $
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, получая два возможных корня:
$ x_1 = 5 $
$ x_2 = -5 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq -5 $).
Корень $ x_1 = 5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -5 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
Ответ: 5

в) $ \frac{x^2 + 3}{x} = \frac{2x + 3}{x} $
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ x \neq 0 $
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$ x^2 + 3 = 2x + 3 $
Переносим все слагаемые в левую часть:
$ x^2 - 2x + 3 - 3 = 0 $
$ x^2 - 2x = 0 $
Выносим общий множитель $x$ за скобки:
$ x(x - 2) = 0 $
Получаем два возможных корня:
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 2 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0 $).
Корень $ x_1 = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2

г) $ \frac{16 + 3x^2}{x - 4} = \frac{4x^2}{x - 4} $
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ x - 4 \neq 0 $
$ x \neq 4 $
Приравниваем числители, поскольку знаменатели одинаковы:
$ 16 + 3x^2 = 4x^2 $
Переносим слагаемые с $ x^2 $ в правую часть, а число оставляем в левой:
$ 16 = 4x^2 - 3x^2 $
$ 16 = x^2 $
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$ x_1 = 4 $
$ x_2 = -4 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 4 $).
Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
Корень $ x_2 = -4 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4