Номер 7.15, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.15, страница 48.

Условие.

7.15 a) $\frac{x^2}{x+3} = \frac{x}{x+3}$;

б) $\frac{5y^2-1}{y} = \frac{y^2+3}{y}$;

в) $\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}$;

г) $\frac{3t^2+5}{t} = \frac{9+2t^2}{t}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $\frac{x^2}{x+3} = \frac{x}{x+3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Поскольку знаменатели в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять числители:

$x^2 = x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное уравнение:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ($0$ и $1$) не равны $-3$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; 1$.

б) Дано уравнение $\frac{5y^2 - 1}{y} = \frac{y^2 + 3}{y}$.

ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, то есть $y \neq 0$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$5y^2 - 1 = y^2 + 3$

Соберем слагаемые с переменной в левой части, а свободные члены — в правой:

$5y^2 - y^2 = 3 + 1$

$4y^2 = 4$

$y^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Оба корня ($1$ и $-1$) не равны $0$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 1$.

в) Дано уравнение $\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю: $3-x \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$x^2 = 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим уравнение:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$.

Оба корня ($0$ и $2$) не равны $3$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; 2$.

г) Дано уравнение $\frac{3t^2 + 5}{t} = \frac{9 + 2t^2}{t}$.

ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, то есть $t \neq 0$.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$3t^2 + 5 = 9 + 2t^2$

Соберем слагаемые с переменной в левой части, а свободные члены — в правой:

$3t^2 - 2t^2 = 9 - 5$

$t^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.

Оба корня ($2$ и $-2$) не равны $0$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 2$.