Номер 7.16, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.16, страница 48.

Условие.

7.16 a) $\frac{x^2 - 2}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$

б) $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{-x}{x + 1}$

в) $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$

г) $\frac{2x}{2 - x} = \frac{x^2}{2 - x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $\frac{x^2 - 2}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:

$x^2 - 2 = 2$

Перенесем -2 в правую часть:

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \neq -2$. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Ответ: $2$

б) Решим уравнение $\frac{x^2}{x + 1} = \frac{-x}{x + 1}$.

ОДЗ: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Приравниваем числители дробей:

$x^2 = -x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x + 1 = 0$, то есть $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq -1$. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $0$

в) Решим уравнение $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$.

ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Приравниваем числители:

$x^2 + 1 = 2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1$

г) Решим уравнение $\frac{2x}{2 - x} = \frac{x^2}{2 - x}$.

ОДЗ: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Приравниваем числители дробей:

$2x = x^2$

Перенесем все в одну часть:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x - 2 = 0$, то есть $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 2$. Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Ответ: $0$