Номер 7.20, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.20, страница 49.

Условие.

7.20 a) $\frac{4}{x} - \frac{x+8}{2x} = \frac{5}{6}$;

б) $\frac{1}{2x} + \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2}$;

в) $\frac{x-20}{4x} + \frac{5}{x} = \frac{2}{3}$;

г) $\frac{x}{x-2} - \frac{2}{3x} = \frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{4}{x} - \frac{x+8}{2x} = \frac{5}{6}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $2x \neq 0$, что в обоих случаях означает $x \neq 0$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $x$, $2x$ и $6$ будет $6x$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $6x$, чтобы избавиться от дробей:

$6x \cdot \frac{4}{x} - 6x \cdot \frac{x+8}{2x} = 6x \cdot \frac{5}{6}$

$6 \cdot 4 - 3 \cdot (x+8) = 5 \cdot x$

4. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$24 - 3x - 24 = 5x$

$-3x = 5x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$5x + 3x = 0$

$8x = 0$

$x = 0$

5. Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Мы получили $x=0$, но согласно ОДЗ, $x \neq 0$. Следовательно, найденное значение не является корнем исходного уравнения.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{1}{2x} + \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2}$

1. Найдем ОДЗ: знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

2. Наименьший общий знаменатель для $2x$, $x+1$ и $2$ равен $2x(x+1)$.

3. Умножим обе части уравнения на $2x(x+1)$:

$2x(x+1) \cdot \frac{1}{2x} + 2x(x+1) \cdot \frac{x}{x+1} = 2x(x+1) \cdot \frac{1}{2}$

$1 \cdot (x+1) + 2x \cdot x = x \cdot (x+1)$

4. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x + 1 + 2x^2 = x^2 + x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 + x - x + 1 = 0$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

5. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

в) $\frac{x-20}{4x} + \frac{5}{x} = \frac{2}{3}$

1. Найдем ОДЗ: $4x \neq 0$ и $x \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

2. Наименьший общий знаменатель для $4x$, $x$ и $3$ равен $12x$.

3. Умножим обе части уравнения на $12x$:

$12x \cdot \frac{x-20}{4x} + 12x \cdot \frac{5}{x} = 12x \cdot \frac{2}{3}$

$3 \cdot (x-20) + 12 \cdot 5 = 4x \cdot 2$

4. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$3x - 60 + 60 = 8x$

$3x = 8x$

$8x - 3x = 0$

$5x = 0$

$x = 0$

5. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Мы получили $x=0$, но по ОДЗ $x \neq 0$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{x}{x-2} - \frac{2}{3x} = \frac{1}{3}$

1. Найдем ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $3x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

2. Наименьший общий знаменатель для $x-2$, $3x$ и $3$ равен $3x(x-2)$.

3. Умножим обе части уравнения на $3x(x-2)$:

$3x(x-2) \cdot \frac{x}{x-2} - 3x(x-2) \cdot \frac{2}{3x} = 3x(x-2) \cdot \frac{1}{3}$

$3x \cdot x - (x-2) \cdot 2 = x(x-2) \cdot 1$

4. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - (2x - 4) = x^2 - 2x$

$3x^2 - 2x + 4 = x^2 - 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - x^2 - 2x + 2x + 4 = 0$

$2x^2 + 4 = 0$

$2x^2 = -4$

$x^2 = -2$

5. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.