Номер 7.14, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.14, страница 48.

Условие.

Решите уравнение:

7.14 а) $\frac{3n + 75}{5} = \frac{6n + 42}{5}$;

б) $\frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{2x + 1}{x^2 + 1}$;

в) $\frac{8r + 3}{7} = \frac{10r - 1}{7}$;

г) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2} = \frac{4 - 3x}{x^2 + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $ \frac{3n + 75}{5} = \frac{6n + 42}{5} $.

Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны и не равны нулю, мы можем приравнять их числители:

$ 3n + 75 = 6n + 42 $

Теперь соберем слагаемые с переменной n в одной стороне уравнения, а числовые значения — в другой. Для этого вычтем $ 3n $ из обеих частей и вычтем $ 42 $ из обеих частей:

$ 75 - 42 = 6n - 3n $

Выполним вычисления:

$ 33 = 3n $

Чтобы найти n, разделим обе части уравнения на 3:

$ n = \frac{33}{3} $

$ n = 11 $

Ответ: 11

б) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} $.

Знаменатель $ x^2 + 1 $ никогда не равен нулю, так как $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного числа x, а значит $ x^2 + 1 \ge 1 $. Поэтому область допустимых значений уравнения — все действительные числа.

Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:

$ x^2 + 2x = 2x + 1 $

Вычтем $ 2x $ из обеих частей уравнения:

$ x^2 = 1 $

Это квадратное уравнение имеет два корня. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$ x = \pm\sqrt{1} $

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -1 $

Ответ: -1; 1

в) Исходное уравнение: $ \frac{8r + 3}{7} = \frac{10r - 1}{7} $.

Знаменатели дробей равны и не равны нулю, следовательно, мы можем приравнять их числители:

$ 8r + 3 = 10r - 1 $

Перенесем слагаемые с переменной r в правую часть, а свободные члены — в левую:

$ 3 + 1 = 10r - 8r $

Упростим обе части уравнения:

$ 4 = 2r $

Разделим обе части на 2, чтобы найти значение r:

$ r = \frac{4}{2} $

$ r = 2 $

Ответ: 2

г) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2} = \frac{4 - 3x}{x^2 + 2} $.

Знаменатель $ x^2 + 2 $ не может быть равен нулю, так как $ x^2 \ge 0 $, следовательно, $ x^2 + 2 \ge 2 $. Область допустимых значений — все действительные числа.

Так как знаменатели равны, приравниваем числители:

$ x^2 - 3x = 4 - 3x $

Прибавим $ 3x $ к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$ x^2 = 4 $

Это квадратное уравнение, которое имеет два корня. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$ x = \pm\sqrt{4} $

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = -2 $

Ответ: -2; 2