Номер 7.7, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.7, страница 47.

Условие.

7.7 а) $\frac{m^2 + 5m}{5} = 0;$

б) $\frac{p^2 + 4p}{2 - p} = 0;$

в) $\frac{n^2 - 9n}{9} = 0;$

г) $\frac{q^2 - 16q}{q + 4} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{m^2 + 5m}{5} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель дроби равен $5$, что не равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно тому, что его числитель равен нулю.

$m^2 + 5m = 0$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m(m + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$m_1 = 0$ или $m + 5 = 0 \implies m_2 = -5$

Ответ: -5; 0.

б) $\frac{p^2 + 4p}{2 - p} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} p^2 + 4p = 0, \\ 2 - p \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Вынесем $p$ за скобки:

$p(p + 4) = 0$

Корни уравнения:

$p_1 = 0$ или $p + 4 = 0 \implies p_2 = -4$

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни второму условию системы (области допустимых значений):

$2 - p \neq 0 \implies p \neq 2$

Оба найденных корня ($0$ и $-4$) не равны $2$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -4; 0.

в) $\frac{n^2 - 9n}{9} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель равен $9$, что не равно нулю. Значит, нужно только приравнять числитель к нулю:

$n^2 - 9n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

$n_1 = 0$ или $n - 9 = 0 \implies n_2 = 9$

Ответ: 0; 9.

г) $\frac{q^2 - 16q}{q + 4} = 0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} q^2 - 16q = 0, \\ q + 4 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся $q$ за скобки:

$q(q - 16) = 0$

Корни уравнения:

$q_1 = 0$ или $q - 16 = 0 \implies q_2 = 16$

Проверим найденные корни по второму условию системы (ОДЗ):

$q + 4 \neq 0 \implies q \neq -4$

Оба корня ($0$ и $16$) удовлетворяют этому условию, так как не равны $-4$. Следовательно, оба являются решениями.

Ответ: 0; 16.