Номер 7.5, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.5, страница 47.

Условие.

Решите уравнение:

7.5 а) $\frac{2x+5}{2}=0;$

б) $\frac{x(x-2)}{x^2+4}=0;$

в) $\frac{3x-4}{4}=0;$

г) $\frac{x(x+1)}{x^2+1}=0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $\frac{2x + 5}{2} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель в данном уравнении равен 2, что не равно нулю. Следовательно, для нахождения решения достаточно приравнять числитель к нулю:
$2x + 5 = 0$
Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x = -5$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{5}{2}$
$x = -2.5$
Ответ: $-2.5$.

б) Дано уравнение $\frac{x(x - 2)}{x^2 + 4} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
или
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
2. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденных значениях $x$. Знаменатель равен $x^2 + 4$.
Так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4 ($x^2 + 4 \ge 4$). Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю.
Оба найденных корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 2$.

в) Дано уравнение $\frac{3x - 4}{4} = 0$.
Как и в пункте а), дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель - нет. Знаменатель равен 4, что не равно нулю. Приравниваем числитель к нулю:
$3x - 4 = 0$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$3x = 4$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) Дано уравнение $\frac{x(x + 1)}{x^2 + 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
или
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
2. Проверим знаменатель $x^2 + 1$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$). Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, оба найденных корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-1; 0$.