Номер 7.8, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.8, страница 47.

Условие.

7.8 а) $\frac{x^2 - 100}{x^2 + 100} = 0;$

б) $\frac{4x^2 - 9}{4x^2} = 0;$

в) $\frac{z^2 - 36}{z^2 + 36} = 0;$

г) $\frac{9x^2 - 1}{3x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 100}{x^2 + 100} = 0$.

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 100 = 0 \\ x^2 + 100 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 - 100 = 0$

$x^2 = 100$

$x_1 = \sqrt{100} = 10$

$x_2 = -\sqrt{100} = -10$

Теперь проверим второе условие для найденных корней. Знаменатель $x^2 + 100$ не должен равняться нулю. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 100$ всегда будет больше или равно 100, и, следовательно, никогда не будет равно нулю. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: $-10; 10$.

б)

Дано уравнение $\frac{4x^2 - 9}{4x^2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 9 = 0 \\ 4x^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$4x^2 - 9 = 0$

$4x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{4}$

$x_1 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим второе условие (область допустимых значений). Знаменатель $4x^2$ не должен быть равен нулю:

$4x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Найденные корни $1.5$ и $-1.5$ не равны нулю, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $-1.5; 1.5$.

в)

Дано уравнение $\frac{z^2 - 36}{z^2 + 36} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} z^2 - 36 = 0 \\ z^2 + 36 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$z^2 - 36 = 0$

$z^2 = 36$

$z_1 = \sqrt{36} = 6$

$z_2 = -\sqrt{36} = -6$

Проверим второе условие. Знаменатель $z^2 + 36$ не должен равняться нулю. Так как $z^2 \ge 0$, то $z^2 + 36 \ge 36$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: $-6; 6$.

г)

Дано уравнение $\frac{9x^2 - 1}{3x} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 9x^2 - 1 = 0 \\ 3x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$9x^2 - 1 = 0$

$9x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{9}$

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$

Проверим второе условие. Знаменатель $3x$ не должен быть равен нулю:

$3x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Найденные корни $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$ не равны нулю, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.