Номер 7.3, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Первые представления о рациональных уравнениях. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7.3, страница 47.

Условие.

7.3 а) $\frac{x^2 + 3x}{x^2}$;

б) $\frac{4x^2 - 1}{6x + 3}$;

в) $\frac{x^2 - 4x}{4x}$;

г) $\frac{4 - 9x^2}{6x - 4}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 3x}{x^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 + 3x = x(x+3)$. Знаменатель $x^2$ можно представить как $x \cdot x$. Таким образом, исходная дробь принимает вид $\frac{x(x+3)}{x^2}$. Сократим дробь на общий множитель $x$. Это допустимо при условии, что $x \neq 0$. В результате получаем: $\frac{x(x+3)}{x \cdot x} = \frac{x+3}{x}$.
Ответ: $\frac{x+3}{x}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{4x^2 - 1}{6x + 3}$. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Числитель $4x^2 - 1$ можно представить как $(2x)^2 - 1^2$, что равно $(2x-1)(2x+1)$. В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки: $6x + 3 = 3(2x+1)$. Теперь дробь можно записать как $\frac{(2x-1)(2x+1)}{3(2x+1)}$. Сократим общий множитель $(2x+1)$ в числителе и знаменателе, что возможно при $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$. В итоге получаем $\frac{2x-1}{3}$.
Ответ: $\frac{2x-1}{3}$.

в) Дана дробь $\frac{x^2 - 4x}{4x}$. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 4x = x(x-4)$. Дробь примет вид: $\frac{x(x-4)}{4x}$. Сократим общий множитель $x$ в числителе и знаменателе. Это действие правомерно при $x \neq 0$. В результате сокращения получаем: $\frac{x-4}{4}$.
Ответ: $\frac{x-4}{4}$.

г) Упростим дробь $\frac{4 - 9x^2}{6x - 4}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $4 - 9x^2$ является разностью квадратов: $4 - 9x^2 = 2^2 - (3x)^2 = (2-3x)(2+3x)$. В знаменателе $6x - 4$ вынесем за скобки общий множитель 2: $6x - 4 = 2(3x-2)$. Дробь принимает вид: $\frac{(2-3x)(2+3x)}{2(3x-2)}$. Заметим, что выражения $(2-3x)$ и $(3x-2)$ являются противоположными, так как $(2-3x) = -(3x-2)$. Вынесем знак минус за скобки в числителе: $\frac{-(3x-2)(2+3x)}{2(3x-2)}$. Теперь можем сократить общий множитель $(3x-2)$, что возможно при $3x-2 \neq 0$, или $x \neq \frac{2}{3}$. В результате получаем: $-\frac{2+3x}{2}$, что то же самое, что и $-\frac{3x+2}{2}$.
Ответ: $-\frac{3x+2}{2}$.