Номер 6.21, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 6. Преобразование рациональных выражений - номер 6.21, страница 46.

Условие.

6.21 $\left(\frac{1}{2x+1} - \frac{3}{8x^3+1} + \frac{3}{4x^2-2x+1}\right) \cdot \left(2 - \frac{4x-1}{2x+1}\right)$

при $x = -2,123$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

6.21

Для решения данной задачи сначала упростим исходное выражение, а затем подставим в него заданное значение $x$. Выражение состоит из двух множителей, упростим каждый по отдельности.

1. Упрощение первого множителя: $ \left(\frac{1}{2x+1} - \frac{3}{8x^3+1} + \frac{3}{4x^2-2x+1}\right) $

Для приведения дробей к общему знаменателю разложим знаменатель $8x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$8x^3+1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x+1)( (2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2 ) = (2x+1)(4x^2-2x+1)$

Как видим, этот знаменатель является общим для всех трех дробей. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (4x^2-2x+1)}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} - \frac{3}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} + \frac{3 \cdot (2x+1)}{(4x^2-2x+1)(2x+1)} $

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{(4x^2-2x+1) - 3 + 3(2x+1)}{8x^3+1} = \frac{4x^2-2x+1-3+6x+3}{8x^3+1} = \frac{4x^2+4x+1}{8x^3+1} $

Числитель $4x^2+4x+1$ является полным квадратом по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$4x^2+4x+1 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x+1)^2$

Подставим это обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} = \frac{2x+1}{4x^2-2x+1} $

2. Упрощение второго множителя: $ \left(2 - \frac{4x-1}{2x+1}\right) $

Приведем к общему знаменателю $2x+1$:

$ \frac{2(2x+1)}{2x+1} - \frac{4x-1}{2x+1} = \frac{2(2x+1) - (4x-1)}{2x+1} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{4x+2 - 4x + 1}{2x+1} = \frac{3}{2x+1} $

3. Перемножение упрощенных выражений

Теперь перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$ \left(\frac{2x+1}{4x^2-2x+1}\right) \cdot \left(\frac{3}{2x+1}\right) = \frac{3(2x+1)}{(4x^2-2x+1)(2x+1)} $

Сокращаем одинаковые множители $(2x+1)$ в числителе и знаменателе (при условии $2x+1 \neq 0$, что выполняется для $x = -2.123$):

$ \frac{3}{4x^2-2x+1} $

4. Вычисление значения выражения при $x = -2.123$

Подставим значение $x = -2.123$ в итоговое упрощенное выражение:

$ \frac{3}{4(-2.123)^2 - 2(-2.123) + 1} $

Вычислим знаменатель:

$ 4(-2.123)^2 - 2(-2.123) + 1 = 4(4.507129) + 4.246 + 1 = 18.028516 + 4.246 + 1 = 23.274516 $

Тогда значение выражения равно:

$ \frac{3}{23.274516} $

Чтобы получить точный ответ в виде обыкновенной дроби, представим $x$ как дробь: $x = -2.123 = -\frac{2123}{1000}$.

Знаменатель: $4(-\frac{2123}{1000})^2 - 2(-\frac{2123}{1000}) + 1 = 4(\frac{4507129}{1000000}) + \frac{4246}{1000} + 1 = \frac{18028516}{1000000} + \frac{4246000}{1000000} + \frac{1000000}{1000000} = \frac{18028516 + 4246000 + 1000000}{1000000} = \frac{23274516}{1000000}$

Итоговое значение:

$ \frac{3}{\frac{23274516}{1000000}} = \frac{3 \cdot 1000000}{23274516} = \frac{3000000}{23274516} $

Сократим полученную дробь. Сумма цифр знаменателя $2+3+2+7+4+5+1+6=30$, значит, он делится на 3. Также оба числа делятся на 4.

$ \frac{3000000 \div 12}{23274516 \div 12} = \frac{250000}{1939543} $

Ответ: $ \frac{250000}{1939543} $