Номер 6.14, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.14, страница 45.

Условие.

6.14 a) $\frac{k-4}{k-2} : \left( \frac{80k}{k^3-8} + \frac{2k}{k^2+2k+4} - \frac{k-16}{2-k} \right) - \frac{6k+4}{(4-k)^2}$

б) $\left( \frac{m-n}{(m+n)^2} - \frac{2m}{m^2-n^2} + \frac{m+n}{(m-n)^2} \right) : \frac{8mn^2}{m^4-n^4} + \frac{2n^2}{n^2-m^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{k - 4}{k - 2} : \left( \frac{80k}{k^3 - 8} + \frac{2k}{k^2 + 2k + 4} - \frac{k - 16}{2 - k} \right) - \frac{6k + 4}{(4 - k)^2}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: $k^3 - 8 = k^3 - 2^3 = (k - 2)(k^2 + 2k + 4)$ (формула разности кубов).

Знаменатель третьей дроби: $2 - k = -(k - 2)$.

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{80k}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)} + \frac{2k}{k^2 + 2k + 4} + \frac{k - 16}{k - 2}$

Общий знаменатель: $(k - 2)(k^2 + 2k + 4)$.

$\frac{80k}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)} + \frac{2k(k-2)}{(k-2)(k^2 + 2k + 4)} + \frac{(k - 16)(k^2+2k+4)}{(k - 2)(k^2+2k+4)}$

Сложим числители:

$80k + 2k(k-2) + (k-16)(k^2+2k+4) = 80k + 2k^2 - 4k + k(k^2+2k+4) - 16(k^2+2k+4) = 76k + 2k^2 + k^3 + 2k^2 + 4k - 16k^2 - 32k - 64$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$k^3 + (2+2-16)k^2 + (76+4-32)k - 64 = k^3 - 12k^2 + 48k - 64$

Заметим, что полученный числитель является кубом разности: $k^3 - 3 \cdot k^2 \cdot 4 + 3 \cdot k \cdot 4^2 - 4^3 = (k - 4)^3$.

Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{(k - 4)^3}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)}$.

2. Выполним деление:

$\frac{k - 4}{k - 2} : \frac{(k - 4)^3}{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)} = \frac{k - 4}{k - 2} \cdot \frac{(k - 2)(k^2 + 2k + 4)}{(k - 4)^3}$

Сокращаем $(k-4)$ и $(k-2)$:

$\frac{k^2 + 2k + 4}{(k - 4)^2}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{k^2 + 2k + 4}{(k - 4)^2} - \frac{6k + 4}{(4 - k)^2}$

Так как $(4 - k)^2 = (-(k-4))^2 = (k - 4)^2$, знаменатели одинаковы.

$\frac{k^2 + 2k + 4 - (6k + 4)}{(k - 4)^2} = \frac{k^2 + 2k + 4 - 6k - 4}{(k - 4)^2} = \frac{k^2 - 4k}{(k - 4)^2}$

4. Упростим полученное выражение:

$\frac{k(k - 4)}{(k - 4)^2} = \frac{k}{k - 4}$

Ответ: $\frac{k}{k - 4}$.

б) $\left( \frac{m - n}{(m + n)^2} - \frac{2m}{m^2 - n^2} + \frac{m + n}{(m - n)^2} \right) : \frac{8mn^2}{m^4 - n^4} + \frac{2n^2}{n^2 - m^2}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель средней дроби $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$ и приведем все дроби к общему знаменателю $(m+n)^2(m-n)^2 = ((m-n)(m+n))^2 = (m^2-n^2)^2$.

$\frac{(m - n)(m - n)^2}{(m+n)^2(m-n)^2} - \frac{2m(m-n)(m+n)}{(m+n)^2(m-n)^2} + \frac{(m + n)(m+n)^2}{(m+n)^2(m-n)^2} = \frac{(m - n)^3 - 2m(m^2-n^2) + (m + n)^3}{(m^2 - n^2)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$(m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) - (2m^3 - 2mn^2) + (m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3)$

$= m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 - 2m^3 + 2mn^2 + m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$

$= (m^3 - 2m^3 + m^3) + (-3m^2n + 3m^2n) + (3mn^2 + 2mn^2 + 3mn^2) + (-n^3 + n^3)$

$= 0 + 0 + 8mn^2 + 0 = 8mn^2$

Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{8mn^2}{(m^2 - n^2)^2}$.

2. Выполним деление:

$\frac{8mn^2}{(m^2 - n^2)^2} : \frac{8mn^2}{m^4 - n^4} = \frac{8mn^2}{(m^2 - n^2)^2} \cdot \frac{m^4 - n^4}{8mn^2}$

Сокращаем $8mn^2$ и раскладываем $m^4 - n^4 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$:

$\frac{(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)}{(m^2 - n^2)^2} = \frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$

3. Выполним сложение:

$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} + \frac{2n^2}{n^2 - m^2}$

Так как $n^2 - m^2 = -(m^2 - n^2)$, то $\frac{2n^2}{n^2 - m^2} = -\frac{2n^2}{m^2 - n^2}$.

$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} - \frac{2n^2}{m^2 - n^2} = \frac{m^2 + n^2 - 2n^2}{m^2 - n^2} = \frac{m^2 - n^2}{m^2 - n^2} = 1$

Ответ: $1$.