Номер 6.8, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.8, страница 44.

Условие.

6.8 Найдите значение выражения:

а) $ \left(\frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1}\right) : \frac{4m}{10m - 5} $ при $ m = \frac{3}{14} $;

б) $ \left(\frac{a}{b - a} - \frac{a}{b + a}\right) \cdot \frac{b^2 + 2ab + a^2}{2a^2} $ при $ a = 23 $ и $ b = 33 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдем значение выражения $ (\frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1}) : \frac{4m}{10m - 5} $ при $ m = \frac{3}{14} $.

Сначала упростим выражение по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2m - 1)(2m + 1) $, который по формуле разности квадратов равен $ 4m^2 - 1 $.

$ \frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1} = \frac{(2m + 1)(2m + 1)}{(2m - 1)(2m + 1)} - \frac{(2m - 1)(2m - 1)}{(2m - 1)(2m + 1)} = \frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)} $

Раскроем числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $a = 2m+1$ и $b = 2m-1$.

$ (2m + 1)^2 - (2m - 1)^2 = ((2m+1) - (2m-1))((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{8m}{(2m - 1)(2m + 1)} = \frac{8m}{4m^2 - 1} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Также разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 10m - 5 = 5(2m - 1) $.

$ \frac{8m}{4m^2 - 1} : \frac{4m}{10m - 5} = \frac{8m}{(2m - 1)(2m + 1)} \cdot \frac{5(2m - 1)}{4m} $

3. Сократим полученную дробь:

$ \frac{8m \cdot 5(2m - 1)}{(2m - 1)(2m + 1) \cdot 4m} = \frac{2 \cdot 5}{2m + 1} = \frac{10}{2m + 1} $

4. Подставим значение $ m = \frac{3}{14} $ в упрощенное выражение:

$ \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{14} + 1} = \frac{10}{\frac{6}{14} + 1} = \frac{10}{\frac{3}{7} + 1} = \frac{10}{\frac{3}{7} + \frac{7}{7}} = \frac{10}{\frac{10}{7}} = 10 \cdot \frac{7}{10} = 7 $

Ответ: 7

б) Найдем значение выражения $ (\frac{a}{b - a} - \frac{a}{b + a}) \cdot \frac{b^2 + 2ab + a^2}{2a^2} $ при $ a = 23 $ и $ b = 33 $.

Сначала упростим выражение по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $ (b - a)(b + a) $, что равно $ b^2 - a^2 $.

$ \frac{a}{b - a} - \frac{a}{b + a} = \frac{a(b + a) - a(b - a)}{(b - a)(b + a)} = \frac{ab + a^2 - ab + a^2}{b^2 - a^2} = \frac{2a^2}{b^2 - a^2} $

2. Теперь выполним умножение. Заметим, что числитель второй дроби является полным квадратом: $ b^2 + 2ab + a^2 = (b + a)^2 $.

$ \frac{2a^2}{b^2 - a^2} \cdot \frac{(b + a)^2}{2a^2} $

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) $.

$ \frac{2a^2}{(b - a)(b + a)} \cdot \frac{(b + a)^2}{2a^2} $

Сократим общие множители $ 2a^2 $ и $ (b+a) $:

$ \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b + a}{1} = \frac{b + a}{b - a} $

3. Подставим значения $ a = 23 $ и $ b = 33 $ в упрощенное выражение:

$ \frac{33 + 23}{33 - 23} = \frac{56}{10} = 5.6 $

Ответ: 5.6