Номер 6.2, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 6. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6.2, страница 43.

Условие.

6.2 a) $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{5xy}{x - y};$

б) $(\frac{z^2}{t^2} + \frac{2z}{t} + 1) : \frac{t + z}{t};$

в) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a + b}{3ab};$

г) $(1 - \frac{2c}{d} + \frac{c^2}{d^2}) \cdot \frac{d}{c - d}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy}$

Теперь подставим полученное выражение обратно и выполним умножение:

$(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{5xy}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{5xy}{x-y}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{xy}} \cdot \frac{5\cancel{xy}}{\cancel{x-y}} = 5(x+y)$

Ответ: $5(x+y)$

б)

Сначала преобразуем выражение в скобках. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t^2$:

$\frac{z^2}{t^2} + \frac{2z}{t} + 1 = \frac{z^2}{t^2} + \frac{2z \cdot t}{t \cdot t} + \frac{1 \cdot t^2}{t^2} = \frac{z^2 + 2zt + t^2}{t^2}$

Числитель $z^2 + 2zt + t^2$ является полным квадратом суммы по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$\frac{z^2 + 2zt + t^2}{t^2} = \frac{(z+t)^2}{t^2}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(\frac{z^2}{t^2} + \frac{2z}{t} + 1) : \frac{t+z}{t} = \frac{(t+z)^2}{t^2} \cdot \frac{t}{t+z}$

Сократим общие множители $(t+z)$ и $t$:

$\frac{(t+z)^{\cancel{2}}}{t^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{t}}{\cancel{t+z}} = \frac{t+z}{t}$

Ответ: $\frac{t+z}{t}$

в)

Первым шагом приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя:

$\frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a+b}{3ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{3ab}{a+b}$

Сократим одинаковые множители $(a+b)$ и $ab$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{3\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = 3(a-b)$

Ответ: $3(a-b)$

г)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем все члены к общему знаменателю $d^2$:

$1 - \frac{2c}{d} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{d^2}{d^2} - \frac{2c \cdot d}{d \cdot d} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{d^2 - 2cd + c^2}{d^2}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Заметим, что $d^2 - 2cd + c^2 = (d-c)^2$, а также $(d-c)^2 = (c-d)^2$. Выберем форму $(c-d)^2$ для удобства дальнейшего сокращения:

$\frac{d^2 - 2cd + c^2}{d^2} = \frac{(c-d)^2}{d^2}$

Теперь выполним умножение:

$(1 - \frac{2c}{d} + \frac{c^2}{d^2}) \cdot \frac{d}{c-d} = \frac{(c-d)^2}{d^2} \cdot \frac{d}{c-d}$

Сократим общие множители $(c-d)$ и $d$:

$\frac{(c-d)^{\cancel{2}}}{d^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{d}}{\cancel{c-d}} = \frac{c-d}{d}$

Ответ: $\frac{c-d}{d}$