Номер 5.45, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.45, страница 43.

Условие.

5.45 Найдите значение выражения:

a) $\frac{4x^2}{2x - y} : \frac{12x^3}{4x^2 - y^2} \cdot \frac{2x^2}{6x^2 + 3xy}$ при $x = 2,7845, y = -13,8471;$

б) $\frac{a^2 + a}{2a - 8} \cdot \frac{a^2 + a}{2a + 8} : \frac{3a^4 + 6a^3 + 3a^2}{a^2 - 16}$ при $a = 1234567890.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти значение выражения при заданных $x$ и $y$, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений.

Исходное выражение: $ \frac{4x^2}{2x - y} : \frac{12x^3}{4x^2 - y^2} \cdot \frac{2x^2}{6x^2 + 3xy} $.

Первым шагом заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$ \frac{4x^2}{2x - y} \cdot \frac{4x^2 - y^2}{12x^3} \cdot \frac{2x^2}{6x^2 + 3xy} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей, где это возможно.

Знаменатель второй дроби $ 4x^2 - y^2 $ является разностью квадратов: $ (2x - y)(2x + y) $.

Знаменатель третьей дроби $ 6x^2 + 3xy $ имеет общий множитель $ 3x $: $ 3x(2x + y) $.

Подставим разложенные многочлены обратно в выражение:

$ \frac{4x^2}{2x - y} \cdot \frac{(2x - y)(2x + y)}{12x^3} \cdot \frac{2x^2}{3x(2x + y)} $

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $ (2x - y) $ и $ (2x + y) $:

$ \frac{4x^2}{1} \cdot \frac{1}{12x^3} \cdot \frac{2x^2}{3x} $

Перемножим оставшиеся части:

$ \frac{4x^2 \cdot 1 \cdot 2x^2}{1 \cdot 12x^3 \cdot 3x} = \frac{8x^4}{36x^4} $

Сократим дробь на $ 8x^4 $:

$ \frac{8}{36} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{2}{9} $

Результат упрощения — константа. Это означает, что значение выражения не зависит от конкретных значений $ x $ и $ y $ (при условии, что они не обращают знаменатели в ноль, что выполняется для заданных чисел). Таким образом, подстановка значений $ x = 2,7845 $ и $ y = -13,8471 $ не требуется.

Ответ: $ \frac{2}{9} $

б)

Аналогично предыдущему пункту, сначала упростим алгебраическое выражение.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + a}{2a - 8} \cdot \frac{a^2 + a}{2a + 8} : \frac{3a^4 + 6a^3 + 3a^2}{a^2 - 16} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a^2 + a}{2a - 8} \cdot \frac{a^2 + a}{2a + 8} \cdot \frac{a^2 - 16}{3a^4 + 6a^3 + 3a^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей.

• $ a^2 + a = a(a + 1) $
• $ 2a - 8 = 2(a - 4) $
• $ 2a + 8 = 2(a + 4) $
• $ a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4) $ (формула разности квадратов)
• $ 3a^4 + 6a^3 + 3a^2 = 3a^2(a^2 + 2a + 1) = 3a^2(a + 1)^2 $ (вынесение общего множителя и формула квадрата суммы)

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{a(a + 1)}{2(a - 4)} \cdot \frac{a(a + 1)}{2(a + 4)} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{3a^2(a + 1)^2} $

Сгруппируем все множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{a(a + 1) \cdot a(a + 1) \cdot (a - 4)(a + 4)}{2(a - 4) \cdot 2(a + 4) \cdot 3a^2(a + 1)^2} = \frac{a^2 (a + 1)^2 (a - 4)(a + 4)}{12a^2 (a - 4)(a + 4)(a + 1)^2} $

Сократим общие множители: $ a^2 $, $ (a + 1)^2 $, $ (a - 4) $, $ (a + 4) $.

После сокращения всех переменных множителей остается числовое значение:

$ \frac{1}{12} $

Выражение не зависит от значения переменной $ a $ (при условии, что $ a $ не равно $0, -1, 4, -4$). Заданное значение $ a = 1\;234\;567\;890 $ не является одним из этих исключений, следовательно, подставлять его в исходное выражение не нужно.

Ответ: $ \frac{1}{12} $