Номер 5.44, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.44, страница 43.

Условие.

5.44 Докажите тождество:

a) $\frac{a^4 - 64ab^3}{a^2 - 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2b - 16b^3} : \frac{a^3 + 4a^2b + 16ab^2}{ab + 4b^2} = \frac{a + b}{a - b};$

б) $\frac{x^3z + 125z}{x^2 - 16z^2} : \frac{x^3 - 25x}{x^2 - 8xz + 16z^2} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} : \frac{x - 4z}{x - 5} = \frac{z}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать тождество, необходимо упростить его левую часть и показать, что она равна правой. Для этого выполним действия с дробями. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

Исходное выражение: $ \frac{a^4 - 64ab^3}{a^2 - 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2b - 16b^3} : \frac{a^3 + 4a^2b + 16ab^2}{ab + 4b^2} $.

Преобразуем выражение, заменив деление умножением:

$ \frac{a^4 - 64ab^3}{a^2 - 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2b - 16b^3} \cdot \frac{ab + 4b^2}{a^3 + 4a^2b + 16ab^2} $.

Теперь разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя формулы сокращенного умножения:

• $ a^4 - 64ab^3 = a(a^3 - 64b^3) = a(a^3 - (4b)^3) = a(a - 4b)(a^2 + 4ab + 16b^2) $ (разность кубов);
• $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $ (квадрат разности);
• $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ (разность квадратов);
• $ a^2b - 16b^3 = b(a^2 - 16b^2) = b(a - 4b)(a + 4b) $ (разность квадратов);
• $ a^3 + 4a^2b + 16ab^2 = a(a^2 + 4ab + 16b^2) $ (вынесение общего множителя);
• $ ab + 4b^2 = b(a + 4b) $ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения обратно в произведение дробей:

$ \frac{a(a - 4b)(a^2 + 4ab + 16b^2)}{(a - b)^2} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{b(a - 4b)(a + 4b)} \cdot \frac{b(a + 4b)}{a(a^2 + 4ab + 16b^2)} $.

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сгруппируем все множители:

Числитель: $ a \cdot (a - 4b) \cdot (a^2 + 4ab + 16b^2) \cdot (a - b) \cdot (a + b) \cdot b \cdot (a + 4b) $.

Знаменатель: $ (a - b)^2 \cdot b \cdot (a - 4b) \cdot (a + 4b) \cdot a \cdot (a^2 + 4ab + 16b^2) $.

Сокращаем $ a $, $ (a - 4b) $, $ (a^2 + 4ab + 16b^2) $, $ (a-b) $ (одна степень), $ b $, $ (a+4b) $.

После сокращения получаем:

$ \frac{a+b}{a-b} $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \frac{a+b}{a-b} $, что совпадает с правой частью.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, упростим его левую часть. Операции умножения и деления выполняются последовательно слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{x^3z + 125z}{x^2 - 16z^2} : \frac{x^3 - 25x}{x^2 - 8xz + 16z^2} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} : \frac{x - 4z}{x - 5} $.

Заменим все операции деления на умножение на обратные дроби:

$ \frac{x^3z + 125z}{x^2 - 16z^2} \cdot \frac{x^2 - 8xz + 16z^2}{x^3 - 25x} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 4z} $.

Разложим на множители числители и знаменатели:

• $ x^3z + 125z = z(x^3 + 125) = z(x^3 + 5^3) = z(x + 5)(x^2 - 5x + 25) $ (сумма кубов);
• $ x^2 - 16z^2 = (x - 4z)(x + 4z) $ (разность квадратов);
• $ x^2 - 8xz + 16z^2 = (x - 4z)^2 $ (квадрат разности);
• $ x^3 - 25x = x(x^2 - 25) = x(x - 5)(x + 5) $ (разность квадратов);
• $ x^2 - 5x + 25 $ является неполным квадратом разности и далее не раскладывается.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{z(x + 5)(x^2 - 5x + 25)}{(x - 4z)(x + 4z)} \cdot \frac{(x - 4z)^2}{x(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 4z} $.

Сгруппируем все множители в числителе и знаменателе для удобства сокращения:

Числитель: $ z \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z)^2 \cdot (x + 4z) \cdot (x - 5) $.

Знаменатель: $ (x - 4z) \cdot (x + 4z) \cdot x \cdot (x - 5) \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z) $.

В знаменателе произведение $ (x - 4z) \cdot (x - 4z) $ равно $ (x - 4z)^2 $. Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{z \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z)^2 \cdot (x + 4z) \cdot (x - 5)}{x \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z)^2 \cdot (x + 4z) \cdot (x - 5)} $.

Сокращаем одинаковые множители: $ (x + 5) $, $ (x^2 - 5x + 25) $, $ (x - 4z)^2 $, $ (x + 4z) $, $ (x - 5) $.

После сокращения в числителе остается $ z $, а в знаменателе $ x $:

$ \frac{z}{x} $.

Левая часть тождества равна $ \frac{z}{x} $, что совпадает с правой частью.
Ответ: Тождество доказано.